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重要 例題 68 高次不等式の解法
次の不等式を解け。 ただし, aは正の定数とする。
x3-(a+1)x²+(a−2)x+2a≦0
指針▷まず,不等式の左辺を因数分解する。 因数定理を利用してもよいが,この問題では、
次の文字αについて整理する方が早い。
(x-a)(x-B)(x-x)≧0の形に変形したら、後は各因数 x-α, x-β, x-yの符号を調べ
て, (x-a)(x-β) (x-y) の符号を判定する。
なお,α, B, y に文字が含まれるときは,α, β, y の大小関係に注意する。
解答
不等式の左辺をα について整理すると
(x-x2-2x)(x-x-2a≦0
x(x+1)(x-2)-(x+1)(x-2)a≦0
(x+1)(x-2)(x-a) ≤0
よって
[1] 0<a<2のとき
右の表から, 解は x-1, a≦x≦2
[2] a=2のとき
不等式は (x+1)(x-2)2 ≤0 となり
(x-2)2≧0であるから
x-2=0 または x+1≧0
ゆえに, 解は x≦-1, x=2
[3] 2<αのとき
右の表から, 解は x≤-1, 2≤x≤a
[1] ~ [3] から, 求める解は
0<a<2のとき x≦-1, a≦x≦2
a=2のとき
x≦-1, x=2
2 <a のとき
x≦-1, 2≦x≦a
x
x+1
x-a
x-2
f(x)
[1] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
-1
a
0 + +
x
x+1
x-2
-
x-a
f(x)
-
-
***
-
◄x²-x²-2x
-
=x(x-x-2)
=x(x+1)(x-2)
-
-
0
...
-
0
-
-
+
-1
0 +
[3] f(x)=(x+1)(x-2)(x-α)
0000
...
-
-
+
00
-
0
2
+
0
...
+|+||||
+
+ ++
-
***
+
+
2++00
1
0
0
I
0 +
a
+
++
+
+
+1:
