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l=r
S
==
S
[角
の表す一般消
・α+360°xn(n= 整数)
↑
198
第7章 数
列
基礎問
1293項間の漸化式
a₁=2, a₂=4, an+2=—an+1+2an (n ≥1) (a)
がある.
(1) An+2-QQn+1=β(an+1-Qam) をみたす2 数α, βを求めよ.
(2) am を求めよ.
精講
an+2=pan+1+qan の型の漸化式の解き方は
D
2次方程式 f=pt+g の解をα, β として,次の2つの場合があり
ます。
(I) α β のとき
an+2=(a+β)an+1-aßan より
[an+2-aan+1=B(an+1-aan) ......①
lan+2-βan+1=α(an+1βa) ...... ②
①より,数列{an+1-aan}は,初項a2-aa1, 公比ßの等比数列を表すので、
an+1-αam=β"-1(α-aa) ...... ①'
同様に,②より, an+1-βan=α"-1 (a2-Ba) ......
②'
①-②より,
(B-α)an=β"-1 (a2-aa)-α" (a2-Bar)
解答
(1) an+2=(a+B)an+1-aBan
E
antz = panti+qam
与えられた漸化式と係数を比較して,
α+β=-1,aß=-2
の形にする。
(α,β)=(1, 2), (-2,1)
(2)(a,β)=(1, -2)として
an+2-an+1=-2(an+1-an) (119
an+1-an =bn とおくと
bn+1=-26
また, b=a2-α=2
n≧2 のとき,
n-1
み
an=a₁+2(-2)-1
k=1
1-(-2)-1
=2+2・
1-(-2)
階だから
123
..bn=2(-2)-1
=
=-(4-(-2)*-¹)
これは, n=1のときも含む.
(別解) (α,β)(2,1) として
an+2+2an+1=an+1+2an
... an+1+2an=az+2a1 よって, an+1=-2an+8
----2(a) a---
an
124
199
8
8
2
an+1
3
3
3
8
β-1 (a2-aa)-α"-1 (a2-Bai)
したがって, an
.. an=
3
3
(-2)-1
..
an=-
= 1/2(4-(2)-1)
β-a
注 実際には α=1(またはβ=1) の場合の出題が多く,その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
ポイント
(II) α=β のとき
an+1-aan=α"-1 (a2-aas) ...... ③
an+2=pan+1+gan 型は, 2次方程式 t2 = pt+αの2
解α,βを利用して, 等比数列に変形し2項間の漸化
式にもちこむ
an+2-aan+1=α(an+1-aan)
つまり、数列{an+1-aan} は, 初項 a2-aa, 公比αの等比数列.
③の両辺をα"+1でわって,a+ an a2-aa1
Qn+1
2 のとき)=2
a2-aa1
a²
よって, an
a=(n-1).az-da
a"
a
Q2
an=(n-1)α-2a2-(n-2) α-α」
演習問題 129
α」=1, a2=2, an+2=3an+1-2an で表される数列{an}がある.
(1) an+2 Qan+1= β(an+1 - Qan) をみたす2 数α β を求めよ.
(2) annで表せ.
第7章
