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漸化式と極限(3)
α=1, an+1=√2an+3 (n=1, 2, 3, ......)
で定義される数列について、次の問いに答えよ。
(1) 数列{an}が極限値αをもつとき, αの値を求めよ.
Check
例題105
「解答
Focus
(2) (1)のαについて, antials // lanal を示せ。
(3) limana であることを示せ。
818
考え方 (1) liman =α のとき, liman+1=α であるから,
これを与えられた漸化式に代入して考える。
求めた αが条件に合うか確認が必要.
(2)
有理化を利用して左辺を式変形する。
Lo
(3) 実際に liman を求める. はさみうちの原理を利用する。
72-00
(1) liman=α とすると
liman=liman+1=α なので、
8218
漸化式 an+1=√2+3より, a=√2a+3
両辺を2乗して,
Q2=2a+3 より,
α=-1 は ①を満たさないから,
(2)|an+1-3|=|√2an+3-3|=|
よって,
1 無限数列
1
√2an+3+3
2, lim 2.
n100
n→∞
2
√2an+3+3
ここで, α=1 より,
2n-1
3
lim|an-3|=0
(3) (2)より,|an-3|≦ 2/21an-1-312)
=(-²) ²1a₁-2-3
|2an-6|
-lan-3| ≤²/3an-31
2
|an+1-3|≦ // lan-3|は成り立つ。
α=3 ↑
(2an+3)-91
√2an+3+3
α=-1,3
n→∞
2n-1
0≤lan-31≤2 (2¹¹
=0 とはさみうちの原理より,
bast
よって, liman=3 となり,題意は成り立つ.
liman = α = liman+1=a
1218
YA
***
10
2n-1
| an-2-3| ≤... (²²¹a₁-31
習 α=1, an+1=√an+2 (n=1,2,3,……)
15 で定義される数列{a.) について, lim an を求めよ.
11100
**
y=x/
a₁=1
das
235
y=√2x+3
²-2a-3=0
+(a+1)(a-3)=0
無理方程式
(p.283 参照)
x
第3章
α= -1, 3 が ① を満
たすか確認する.
(1)で求めたαを代入
し,漸化式を用いて
不等式の左辺を変形
する。
分子の有理化
√2+3≧0より、
√2an+3+3=3
11
1
√2an+3+3 3
(2) をくり返し用いる.
|α-3|=|1-3|
=|-2|=2
