実力アップ問題 138
難易度
CHECK 1
CHECK 2
CHECK 3
直角三角形 ABC は, ∠Cが直角で、 各辺の長さは整数であるとする。
辺BCの長さが3以上の素数であるとき,以下の問いに答えよ。
(1) 辺 AB, CA の長さを” を用いて表せ。
(2) tan ∠A は整数にならないことを示せ。
(千葉大)
ヒント! (1) AB=c, CA = b とおくと、三平方の定理から,c=p^2+b2
となることを利用する。 (2) は,背理法を用いて証明しよう。
(1)BC=p (3以上
の素数)
A
ここで, tan ∠A=m (整数) と
仮定すると,
2p
-=m より,
p-1
ここで,AB=c,
CA= b とおくと,
B
三平方の定理より,
3以上の素数
c2=p2+b2 これを変形して,
c-b2=p2(c, b:自然数)
(c+b)(c-b)=p2 .....①
ここで,c+b>c-bであり, c+b
とc-bは正の整数より, ① から
2p=m(p+1)(p - 1) ......④
p の倍数 4 以上 2以上
となる。 ④の左辺はp の倍数より,
④の右辺もp の倍数となる。 しか
し, p+1とp-1はp の倍数では
ないので, mがp の倍数となる。
よって,m≧p ...... ⑤
m=k.p(k:正の整数)より,
m≧p となるんだね。
c+b=p2
②
となる。
c-b=1
・③
また,pは3以上の素数なので、
②+③ より c=p2+1
2
2
③ ③よりb=p2-1
2
2
(2)tan ∠A が整数とならないことを背
理法により示す。
tan ∠A= P
B
P
P
2p
=
2
bp2 1 P
2
p+14
P-12
......
････⑥ となる。
以上 ⑤,⑥より,④の右辺は,
m(p+1)(p-1)≧p4.2=8p
となるので,これは左辺の2p に
なり得ない。 よって、矛盾
∴.tan A は整数にはならない。
……………(終)
理法→P36
