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214 第4章 微分法の応用
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曲線 C:y=e* 上の異なる2点A(a, e), P(t, e') におけるCのそれぞれの法線の交点
ものとして、親分AQの長さをL() で表す.さらに,r(a) = lim Lat)と定義等の
(1) r(a)を求めよ.
(2)
aが実数全体を動くとき, r(a) の最小値を求めよ。」
<考え方> (1) Qのx座標を求め, (Qのx座標) - α と直線AQ の傾きから, La (t) を求める
(2) 文字のおき換えを考え、定義域に注意しながら計算する.
(1) y=e" より,y'=e
曲線 y=e' 上の点A(a, e), P(t, e') における法線
の方程式はそれぞれ,
+x)-(
y-e²=-(x-a) -
(+2)
y-e'=-(x−t)
......2+)
y=f(x) 上の点(α
f(a))
における法線の方程式
y-f(a)=-ƒ (a)(x0)
(十五十 (f(a)\0 のとき)
①②よりyを消去して,交点Qのx座標を求めると
e'-e=(x-1)-(x-a)
ee' (e'-e")=eª(x− t)- e'(x-a)
(e-e)x=ae'-te- e'e' (e'-e")
ae'-te
x=
e'-eª
したがって,
eª e
40-2
mil
mil(a)ail
1+
kt
at より,ピーピ≠ 0
L(t)=√1+(-1)(a-te-ee-a
0
y=mx+n
= 1+
1-e(t-a)
20
e-ea
eet
e2a
ea. iteel
e2a+1 t-a
e-e
ここで,f(t)=e' とおくと, f'(t)=e'
t-at-a
lim
e'-e² = f'(a)=eª
よって,
Ile² + e²e mil
r(a)=limL.(t)=√++ee
2a
220+1 − 1 + 2² | = (1 + e²) = 1, 3 C
ea
ea
(2)u=eze,g(u)={r(a)}^ とおくと,u>0で
g(u)=-
(1+e)_(1+u) 3
u
g'(u)=3(1+u)²u=(1+u)³ _ (1+u)²(2u−1)
u
+10
√1+m²
m
llim
(
t-a
1
1-a e-e
1+e>0
r(a)>0より,g(u)が最小
となるとき(a) も最小と
0 なる.
大
u²
g^(u)=0 とすると,“>0より,
u=
12
g(u) の増減表は右のよう
になる.
u=1のとき,g(u)は
U 0
...
:
g'(u)
27
4
最小値をとり、このと
g(u)
1
+
27
12024
7
12a=log_
a=-
-=-
=-1210g2
-log2 より
