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214
重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3)
00000
*Fix€x²+{2_a}x+4=2a=0&t=1 <x<10>}{}\
解答
をもつような定数αの値の範囲を求めよ。
128, 1
指針 条件が 「-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに注意。
大きく分けて次のA B の2つの場合がある。
A-1<x<1の範囲に,2つの解をもつ (重解は2つと考える)
® -1 <x<1の範囲に、ただ1つの解をもつ
方程式の2つの解をα, β (α≦β) として,それぞれの場合につ
いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。
®は以下の4つの場合がありうるので注意する。
® [2]
+
a 1
B
x
または
a
-1<x<1 の範囲に1つ,
<-1 または 1<x の範囲に1つ
x= 2
である。
+
81 x
® [3]
A [1]
+
1<x<1
の範囲に2つ
® [4]
a=―1
+
+
1 x
x=-1と1<x<1
の範囲に1つ
-1 a
B=1
x=1と1<x<1
の範囲に1つ
2-a
x=-
2-1
204
a3
①~④の共通範囲を求
21 解の1つが1<x
(-a+3)(-
または1<xにあるため
ゆえに
よって
(a-3)(3a
[3] 解の1つがx=
(-1)=0から
このとき、方程式は
よって (x+1)(x
ゆえに,解はx=-
[4] 解の1つがx=1
f(1)=0 から
このとき、方程式
よって (x-1)
ゆえに、解はx=-
求めるαの値の範囲
2≦a<
f(x)=x2+(2-a)x+4-2a とし, 2次方程式 f(x) =0 の
判別式をDとする。
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線
a-2
[1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条
件は,y=f(x) のグラフがx軸の1<x<1の部分と異
なる2点で交わる, または接することである。
すなわち,次の (i)~ (iv) が同時に成り立つことである。
(i) D≧ 0 (ii) 軸が-1<x<1の範囲にある
(iii) f(-1)>0
(iv) f (1) > 0
(i) D=(2-α)-4・1・(4−2a)
=a+4a-12=(a+6)(a-2)
D≧0 から
(a+6)(a-2)≥0
ゆえに am-6,2≦a
......
①
(x=472 について -1<> 2 <1
よって
ゆえに
-2<a-2<2
0<a<4
......
②
(i) f(-1)=-a+3であるから
よって a <3
条件は
「少なくとも1つ」
であるから,y=f(x
定数分離による解法
この問題は、方程式
もう)、2つのグラフが
ONE Bx²+(2-a)x
方程式(*)が一
y=x^2+2x+4..
が1<x<1の
と同じである
2点(2,
②が点(-1,
②がと
グラフがx軸に接する
場合,すなわち, D=
の場合も含まれる。
[1]
-a+3>0
8-1
軸
ID=0
ついて D=0
図からa>0,
la=2のとき
よって、①
は、グラフカ
130 つような定
方程式
