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基本例題 170 曲線の接線の長さに関する証明問題
それぞれA,Bとするとき, 線分ABの長さはPの位置に関係なく一定であるこ
曲線3x2+y2=3a² (a>0) 上の点Pにおける接線がx軸, y 軸と交わる点を
とを示せ。 ただし, Pは座標軸上にないものとする。
[類 岐阜大]
基本
指針▷ まず,曲線の対称性に注目 すると(p.312 参照), 点Pは第1象限にある,つまり
P(s,t) (s>0,t>0) としてよい。 p.281 基本例題 165 (1) と同様にして点Pにおける接線
の方程式を求め,点A, B の座標を求める。 線分ABの長さがPC
この位置に関係なく一定で
あることを示すには, AB2 が定数 (s,tに無関係な式) で表されることを示す。
解答
³√x² + ³√/y² = ³√/a² (a>0) ① とする。
① は x を -x に, y を -y におき換えても成り立つから,曲線
① は x軸,y軸, 原点に関して対称である。
よって、点Pは第1象限の点としてよいから,
P(s,t) (s>0, t> 0) とする。
また,3s = p,t=g(p>0,y>0)とおく。
(*)
x>0,y>0のとき, ① の両辺をxについて微分すると
=0
2
2y'
+
3√x 3/y
ゆえに(y=-3 y
x
よって,点Pにおける接線の方程式はy-t=-1/(x-s)
ゆえに
q
p
y=- (x-p³)+q³ ②
② で y=0 とすると x = p + p² :. A(p(p²+q²), 0)
x=0 とすると y=fg+q3
よって
AB²={p(p²+q²)}²+{q(p²+q²)}²
= (p²+q²) (p²+q²)² = (p²+q²)³
=(√/s² + √² )³ =(√√a² )³=a²
したがって, 線分ABの長さはαであり, 一定である。
#GSH
B(0, g(p2+q2))
B.
YA
-a O
a³√x²+√/y²=√/a²
p.
-a
-
<a>0
ax
A
x=acos³0
ly=asin³0
(*) 累乗根の形では表記が
紛れやすくなるので、文字
をおき換えるとよい。
◄s=p³, t=q³
SARKOO
◄ (√√x ² )' = (x ³)' = ² x 7
3
gÞ+ (s¶ − x) — — = 0 ►
両辺に」を掛けて
0=-gx+qp3+pg°
ゆえに x=p³+pq²j
I
て
(F
接
#E
