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倍数に関する和など
基礎例題 68
1から 100 までの整数について, 次のような数の和を求めよ。
(2) 6の倍数でない数
(1) 6の倍数
(4 6で割ると1余る数
(3) 6の倍数または5の倍数である数
CHART
Q GUIDE)
倍数に関する和
-n(a+1)を活用
2
等差数列の和の公式
1から 100 までの整数の和から(1)の和を引く。
(3) 6の倍数の和と5の倍数の和を合わせたものから, 6の倍数かつ5の倍数の和を
引いたもの。
(解◆答)
96 であり,これは初項6, 公 -100-6=16余り4
また 100-4396
(1) 6の倍数は 6,12, 18,…………,
差6,項数 16 の等差数列である。
1
よって,求める和は
.16(6+96)=816
2
-6+12+ +96
=6(1+2+… +16)
(2) 求める和は1から100 までの整数の和から(1)の和を引いた
…16(1+16)
2
=6×
1
もので
-100(1+100)-816=5050-816=4234
2
=816
として求めてもよい。
(3) 5の倍数は 5, 10, 15, …,
100 の全部で20 個あるから,
1
5の倍数の和は(1) と同様にして
20(5+100)=D1050
2
6の倍数かつ5の倍数は 30 の倍数であるから,その和は
30+60+90=180
よって,求める和は(1) から
(4) 6 で割ると1余る数は, kを自然数として 6(k-1)+5, す
816+1050-180=1686
816+1050 では 30 の倍
数が2度加えられている
ので,重複の分を引く。
なわち 6k-5と表される。
6k-5<100 とすると k<-
105
=17.5 から
6
k<17
よって, 6 で割ると1余る数は1, 7, 13,
これは初項1,公差6,項数 17 の等差数列である。
………, 97 であり,
-6-17-5=97
1を忘れないように注意
しよう。
したがって, 求める和は
17(1+97)=D833
