-
![]()
例
題 B1.34
考え方)
Un+1=pan+f(n) (p≠1)
****
=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{an}の一般項 αを求めよ.
[答] 漸化式 an+1=3an+2n+3 において,を1つ先に進めて+2 と α+)に関す
ある関係式を作り, 差をとって,{anti-an}に関する漸化式を導く
答 2α に加える(または引く)nの1次式pn+g を決定することにより、
{an+pn+g}が等比数列になるようにする。
10+1= 30+2n+3
・・① より、
ante = 3an+1+2(n+1) +3 ...... ② に
①より、
mimi
www
www
an+2-an+1=3(anan)+2l
bantiman
より,
とおくとか考休み、
b=a-a=3a,+2+3-q=11
b+1=36+2,
b₁+1=12
bw+1+1=3b"+1),
したがって、数列{6m+1} は初項 12, 公比3の等比数列
だから,
bm+1=12.3" =4・3" b=4.3"-1
n2のときの係数)
n-1
②は①の
を代入したもの
+1
差を作り”を消去
する
①より.
a2=3a,+2+3=14
α=3α+2 より
+m+α=-1
12.3" =4・3・3"-1
(1
12(3"-1-1)
=4.3"
k=1
カ=-1
3-1 (n-1)
n-1
a=a+b=3+Σ(4-3-1)=3+
k=1
第8章
=6・3"-1-n-2=2.3"-n-2
n=1のとき, a1=2・3′-1-2=3より成り立つ。
よって, an=2・3"-n-2
6.3"-12・3・3-1
=2.3"
十四十 n=1のときを確認
2pg を定数とし, an+1+p(n+1) +q=3(a,+pn+g) とおくと
an+1=3a+2pn+2g-pおけば
an+1+pn+p+q
23=3a + 3pn +3q =
もとの漸化式と比較して、 2p=2, 2g-p=3より、p=1,g=2
したがって,att(n+1)+2=3(an+n+2) 4+1+2=6=34.+2pn
より,数列{am+n+2}は初項 6, 公比3の等比数列
an=2.3"-n-2a=3
an+1=pan+f(n) (f(n)はnの1次式)
差を作り, n を消去して階差数列を利用して考える
+2q-p
よって,an+n+2=6・32・3" より
Focus
注) 例題 B1.33 (B1-63) のように例題 B1.34 でも特性方程式を使うと, α = 3α+2 +3 よ
3
ant
h₁ α=-n-2
3
となる. これより,
順番になっていない
と変形できるが, 等比数列を表していないので、このことを用いることはできない.
+2
注意しよう
[[[]] [Bl
解説参照)
よって定められる数列{am}に
R1
