解説
1 補足 (1)(3)対称性を活かして式を変形する
与えられた式の形によるが,一般に対称式を扱う場合は,対称性を崩さず式変形した方がラクに
処理できる場合が多い。 1文字だけに注目して、計算が大変になってしまうケースも見られるので,
対称式のように式の対称性を活かせる場合は計算を始める前に検討をしてみよう。
対称性を利用する問題として、次の問題を紹介しておく。
(1) Q2 + b + c2 = 1 をみたす複素数a,b,cに対して,r=a+b+c とおく。 このとき,
ab+bc + ca をxの2次式で表せ。
(2) Q2 + 62 + c2 = 1, a +6 + c = 0, abc = 3 をすべてみたす複素数a,b,cに対して,
x = a+b+c とおく。 このとき, x3-3xの値を求めよ。
【解答】
(1)(a+b+c) = a2 + 62 + c2 + 2 (ab + bc + ca) だから
x2 = 1 + 2(ab+bc + ca)
ab + bc+ca =
(a + b + c)(a² +b2+c2-ab-bc-ca)=a+b+c-3abc
a
(2)
だから
x (₁-2²²2-¹) = -
x³3x = 18 ()
2
=-9
(答)
(2005年 早稲田大)
こ
(5+0+5)0 (0-0)
) = (5 + 8 + x) (I= 5)%
113
