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を早く
ハイスクー
A-104-56
重要 例題 102 2次方程式の共通解
00000
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数の値を定め、その共通解を求めよ。
基本的
指針
2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができ
たら,その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しか
し、この例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法
が一般的である。
41212
2つの方程式の共通解を x=αとおいて、それぞれの方程式に代入すると
2a2+ka+4=0 ...... ①,
a2+α+k=0 ②
これをαについての連立方程式とみて解く
す
②から導かれる k=--α を ①に代入(kを消去)してもよいが、3次方程式と
なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では、最高次の項である2の項を消去す
ることを考える。 なお, 共通の 「実数解」 という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解を x=αとおく
171
(7)
T
3章
12次方程式
共通解をx=αとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a+ko+4=0 ...... ①, a2+α+k=0………
解答
①-② ×2 から
(k-2)a+4-2k=0
ゆえに
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=21
[1] k=2のとき
よって
αの項を消去。この考
え方は, 連立1次方程式
を加減法で解くことに似
ている。
2つの方程式はともに x2+x+2=0となり、この方程式 数学Ⅰの範囲では、
の判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7
D<0 であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに,2つの方程式は共通の実数解をもたない。
x²+x+2=0の解を求め
ることはできない。
[2] α=2のとき
②から 22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は2x26x+4=0, x2+x-6=0
すなわち2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 とな
り,解はそれぞれ x=1,2; x=2, -3
α=2を①に代入しても
よい。
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2
以上から
共通解はx=2
=-6,
注意 上の解答では, 共通解 x=α をもつと仮定してα やんの値を求めているから
求めた値に対して,実際に共通解をもつか、または問題の条件を満たすかど
うかを確認しなければならない。
共通解としてもつとき, 実数の定数kの値は
2つの2次方程式x2+6x+12k-24=0, x2+(k+3)x+12=0がただ1つの実数を
であり,そのときの共通解は
p.173 EX73
である。
