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女子
練習(1) 不等式2x≧kx-4の解がすべての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。
②115(2) すべての実数xに対して,不等式 ax2+x-1)<x+xが成り立つような,定数αの値の範
囲を求めよ。
(1) 不等式を変形すると
x2-(k+2)x+4≧0
[ (1) 金沢工大
f(x)=x²-(k+2)x+4 とすると, y=f(x) のグラフは下に凸 ←f(x)のx2の係数は正
の放物線である。
よって、不等式f(x)≧0の解がすべての実数であるための条件
は,y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもたない,または,x
軸と接することである。
であるから,下に凸。
ゆえに,2次方程式 f(x)=0 の判別式をDとすると, 求める条
件は
D≦0
D={-(k+2)}-4・1・4=(k+2+4)(k+2-4)
=(k+6)(k-2)
←D <0とすると誤り!
D≦0 の “S” は,グラフ
がx軸と共有点をもた
ない,または,x軸と接
(k+6)(k-2)≦0拌するための条件である。)
であるから, D≦0 より
よって -6≤k≤2
(2) 不等式を変形すると
[1] α-1=0 すなわち a=1のとき
A-1-1-1-((1+))=0
(a-1)x2+(a-1)x-a<0...... ①
① は 0.x2+0x-1<0となり,これはすべての実数xにつ
いて成り立つ。
[2] α-10 すなわち α=1のとき
04(1)
>I
①の左辺を f(x) とすると, y=f(x) のグラフは放物線であ
る。よって, すべての実数xに対してf(x) <0 が成り立つた
めの条件は,y=f(x) のグラフが上に凸の放物線であり, x
軸と共有点をもたないことである。
ゆえに, 2次方程式 f(x) =0の判別式をDとすると, 求める
条件は a-1 < 0 かつ D<0
D=(a-1)-4(a-1)(-a)=(a-1){(a-1)+4a)
=(5a-1)(a-1)
1=0 のとき, ① の
左辺は2次式ではない。
0=1
(S)
←このとき,グラフは常
にy < 0 の部分にある。
←a-1>0 とすると,
y=f(x)のグラフは下に
凸の放物線となり、
f(x) の値はいくらでも
大きくなるから、常に
x)(f(x)<0が成り立つこと
であるから, D<0 より
(5a-1)(a-1)<0
3<0
よって// <a
言くく
(8-
はない。
1
a-1 < 0 すなわちα<1との共通範囲は
<a<1 marc
5
[1],[2] から,求めるαの値の範囲は / <a≦1
5
