精講
an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t2 = pt+α の解を α, β として,次の2つの場合があり
ます。
(I) αキβ のとき
an+2=(a+β)an+1 -αBan より
an+2aan+1=B(an+1-αan)
①
an+2-Ban+1=α (an+1- Ban) .... ②
①より,数列{an+1-aan} は,初項a2-αa,公比βの等比数列を表すので,
an+1-aan = βn-1 (azaar) ...... ①’
同様に,②より, an+1-Ban=αn-1 (a2-Bas) ......②'
①'−②'より,
(B-α) an=β"-1 (azaa】)-α"-1 (a2-Bas)
βn-1 (a2-aas)-α”-1 (az-Bas)
(8)AST B-a
10
注 実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く、その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α=β のとき anti=ran型
an=
an+2-dan+1=α (an+1-αan)
..
an+1-dan=an−1 (az-aas) ③
つまり、数列{an+1- Qan}は,初項 α2-αa,公比αの等比数列.
③ の両辺を αn+1 でわって,
an+1 an a2-aa₁
22.8
an+1
an
a²
n≧2のとき,
An
n-1
> k+1
k=1\ak-
ak+1 ak
k
=
n-1
-
a2-aa1
a²
k=1
よって, and=(n-1).《2-001
‥. an=(n-1) α”-2a2- (n-2) α"-' ai
n-1
AM)
135
ď²5 (85) (1)
