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2 [2011 岡山大]
pを定数とする。 f(x)=x+x2+px+1 とおく。 y=f(x)のグラフに傾き1の2つの異
なる接線が引けるという。
(1) の範囲を求めよ。
(2) 2つの接点のx座標をα, βとする。(α--β)2 をを用いて表せ。
(3) 2つの接線のy軸との交点をA,Bとするとき, 線分ABの長さをを用いて表せ。
(4) 2つの接線の間の距離が27 となるようなの値を求めよ。
(1) f(x)=x2+x2+px+1から f'(x)=3x+2x+p
よって, y=f(x)のグラフ上の点t, f(t))における接線の傾きは
f'(t)=3t2+2t+p
ここで, 3次関数y=f(x)のグラフが1本の直線と相異なる2点で接することはない。
したがって, y=f(x)のグラフに傾き1の2つの異なる接線が引けるための条件は,
についての2次方程式f(t) = 1 すなわち
3t2+2t+p-1=0
が相異なる2つの実数解をもつことである。
D
① の判別式をDとすると
......
よって
12-3(p-1)=4-3p>0
ゆく言
これを解くと
(2) α, は ① の2つの実数解であるから, 解と係数の関係より
p-1
a+ß = = ²3², aß= P = ¹
3'
3
******
(a − p)² = (a + p)² - 4xß = (-²)²-4.¹ (4-3p)
2\2
p-1
・4・
3
3
4
9