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数学 高校生

四角で囲んだところってαが1の5乗根だからα≠1ということですか?

34 重要 例題 201の5乗根の利用動 複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。 300 s s (1) α*+α°+α°+α+1=0 であることを示せ。 (2)(1) を利用して,t=α+α は f2+t-1=0 を満たすことを示せ。 (3) (2) を利用して, cos 2/2 の値を求めよ。 CHART O 1の5乗根 α α=1 を満たす解 (1) 因数分解 x-1=(x-1)(xn-1+xn-2+.....+x+1) を利用。 (2) α=1のとき, ||=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数) |a|=1 のとき aa=11 (3) α=1の1つの虚数解を α = cos 1/23 x + isin 1/23 解答 (1) α=1から よって αキ1 であるから OLUTION (a-1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0 a¹ + a² + a² +a+1=0 a5-1=0 (2) α=1 から |a5=1 ゆえに |a| = 1 すなわち aa=1 したがって, t=α+α から =a²+2+ 2+1/3+ a + ²²-1= Q a tº²+1−1=(a+@)²+(a+a)—1=(a+¹)²+(a+¹)−1 aª+a³+a²+a+1¸ a² t>0 であるから ゆえに よって |a|=1 よって 2 a=cos πisin 15π, t=a+α 1²5 (2) から, t2+t-1=0であるから (3) acosm232x+isin 1/23 とすると12/3であるから αは α=1, α=1 を満たす。 /2 05/317-4 1.5 -=0 -1+√5 4 t=2co$ 2 t=2 cos- ²/² x= -1+√5 Q= とおいてみる。 ・・・・・・!! 2 2 COS T= 5' 2+isin PRACTICE・・・ 20 ④ 複素数α を α=cOS 4 7 (1) °+α+α^+α² + α²+αの値を求めよ。 (2) t=α+α とおくとき, f+f2-2tの値を求めよ。 a 2π 7 [類 金沢大 別解 (1) α≠1 より等 数列の和の公式から 1+a+a²+a³ + a² 1-1-1 とおく。 5 t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5 1-a 1-a aa = |a|2 -=0 (1) より α*+α²+α²+α+1 = 0 11/23ntisin 1/3は -isin=π 1の5乗根の1つ。 α+α=2x(αの実部) 2 01 x GOST 12 [ 九州大 13 (3) で

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数学 高校生

最短経路の数 書き込みで求める (2)について○を付けたマスのところの数がそのひとつ下のコマの数と一緒になるのは何故ですか?

以上から、 図1と図2は碁盤の目状の道路とし、す (1) 図1において, 点Aから点Bに行 ●く最短経路は全部で何通りあるか。 また、このうち次の条件を満たすもの は何通りあるか。 (ア) 点Cを通る。 (イ) 点Cと点Dの両方を通る。 (ウ) 点Cまたは点Dを通る。 31 べて等間隔であるとする。 12! 6!6! A (1) 右に1区画進むことを,上に1区画進むことを↑で表すと, | 点Aから点Bに行く最短経路の総数は, 6個のと6個の を1列に並べる順列の総数に等しいから =924 (通り) 4! 8! (7) 点Cを通る最短経路は 2!2! 4!4! 点Cと点Dの両方を通る最短経路は 4! 4! 4! × 2!2! 2!2! 2!2! × 点Cと点Dのどちらも通らない。 (2) 図2において,点Aから点Bに行く最短経路は全部で何通りあるか。ただし、斜線の部分 は通れないものとする。 九州大 =216 (通り) 8! 4! × 4!4! 2!2! (2) 交差点を通過する経路の数を記入 していくと、右の図のようになる。 よって 求める最短経路の数は 132通り =420 (通り) (ウ) 点Dを通る最短経路は よって、点Cまたは点Dを通る最短経路は 420+420-216624 (通り) 点CとDのどちらも通らない最短経路は 924-624=300 (通り) A D =420(通り) 1 42 14 42 45 14 28 14 4259 1 2 3 B 1 1 1 •B132 132 90 48 20 6 '5 4 A 図2 B ← として求めてもよ ←A→C, C → B ←A→C, C→D, D→B ←A → D, D→B ← (Cを通る)+(Dを通る) (CとDを通る) ←(全体) (CまたはD を通る) ← (1) も同様の方法で求 められる。

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