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基本例題 96
. 6は定数で, ab=1 とする。 関数 y=-
a,
と一致するための条件を求めよ。
逆関数がもとの関数と一致する条件
(金) 6x+1
x+a
指針2つのxの関数f(x),g(x) が一致する等しい)とは
[1] 定義域が一致する
解答
bx+1 b(x+a)+1-ab 1-ab
x+a
x+a
x+ta
したがって, ① の値域は
①からy(x+α)=bx+1
y=6であるから x=
よって ① の逆関数は
[2] 定義域のすべてのxの値に対して
f(x)=g(x)
が成り立つことである。この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式となる
ための必要十分条件を求める。
AGRI
y=6
練習
€96
ay+1
y-6
y=
afa
ゆえに x(y-b)=-ay+1
- (2 (x+2) (
-ax+1
x-b
①と②が一致するための条件は,
がxの恒等式となることである。
③の分母を払って同ら
+6
TE 0000
①の逆関数が,もとの関数
[奈良大]
(x+b)
0(150A+
-₂)(x + a)(x-²)(x+b
bx+1=ax+1
x+ax-b
基本95
(x)=(1-v=f(x)=f(x)であるとき,
2
f(x) の定義域xキーがニエ
x=bに一致するから
a=b (必要条件)
_=ax+1
f(x) = -
このとき,
x+a
の逆関数はf(x) に一致する
(十分条件)。
(
別解 定義域が一致すること
に着目した解法。
bx+1
f(x)=
とする。
x+a
f(x) の値域はy=6であるか
ら,逆関数f'(x) の定義域は
(bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α)
(a+b){x2+(a-b)x-1}=0
xについて整理すると
これがxの恒等式であるから
a+b=0 (すなわち b=-α)
このとき、①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。この確認を忘れずに! [S]
THE SE
1+1-8-1_20≤(1) [8]
検討 「1対1の関数」という表現について
関数 y=f(x) において、 異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき
[すなわち
x2 ならばf(x)=f(x2)のとき] 関数f(x) は1対1であるという。
f(x) が1対1の関数であるとき, f(x) の逆関数が存在する
なお、上の例題の ab≠1という条件は、関数 ① が1対1であるためのものである。もし､
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ab=1 とすると y=b (定数関数)となり, ①は1対1の関数ではなくなるから,逆関数は存在し
ないことになる。 本/Bat
280x) 8+³x − −−x 3 A+x8 — \ −e
(1) a≠0 とする。関数f(x)=2ax-5a²について,-'(x)とf(x)が一致するよ
うな定数αの値を求めよ。
DOL
(2)関数y=ax+b
x+2
( b2a) のグラフは点 (1,1)を通り,また,この関数の逆関
数はもとの関数と一致する。 定数 α, b の値を求めよ。
[(2) 文化女子大]
(p. 172 EX72, 73
章 3 逆関数と合成関数
3章
13
