（1）ではなぜ余りの部分をax²+bx+c にしないのかと、途中の式変形を教えていただきたいです。 （2）ではなぜ3k,3k+1,3k+2と場合分けしているのかを教えていただきたいです。

28 第1章 式と証明 問 9 整式の割り算(3) m, nは正の整数とする。 (1) 3m +1 を 1 で割ったときの余りを求めよ。 (2) +12+x+1で割ったときの余りを求めよ。 これは=0 (n (室蘭工業大) 以上より、 + n=3k(k → 精講 (2) (1)において -1=(x-1)(x2+x+1) より, n=3kのとき は、処理済です. あとは, n=3k+1,3k+2 と場 合分けして調べていきましょう. (1) cam=(x3-1+1)^ = (X+1)" とみて展開 (1) まずは3m を -1で割るこ解法のプロセス とを考えます. n=3k+1 n=3k+2 (2)n=3k, 3k+1, 研究 (2) 3k+2 と場合分けする 解答 (1) x3m+1=(x3)"+1=(x-1+1)"+1 X=x-1 とおいて二項展開すると x3m+1= (X+1)"+1 ={(Xの1次以上の整式)+1}+1 =X(Xの整式)+2 =(-1) (zの整式) +2 よって, x3m+1 を-1で割った余りは 2 (2)(1) より が正の整数のとき これは 二項定理より た余り (X+1)m =mCoX™•10+mCiX~1.14+ この ...+mCmX1" すなわ よい 3k+1=(x-1)(x の整式) +2 である. =(x-1)(x²+x+1)Q(x)+2 (Q(x)はxの整式) n=3k のとき, "+1 を x'+x+1 で割った余りは2である. n=3k+1 のとき,①の両辺にxをかけて, 変形すると 3k+1+x=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+2x 3k+1=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+m ・② 3k+1+1=(x2-x)(x'+x+1)Q(x)+x+1 これはk=0 (n=1) のときも成り立つ. n=3k+2 のとき,②の両辺にxをかけて, 変形すると mak+2=(x-x2)(x'+x+1)Q(x) +x m3k+2+1=(x-x2)(2+x+1)Q(x)+x2+1 =(x-1)(x'+x+1)Q(x)+(x²+x+1)-x で

(3)です Pが接点になるのだと思うのですが、(3)でSの最大値を求める時のPの接点はどこにあるのでしょうか？

8 第1章 式と曲線 基礎問 2 円(Ⅱ) だ円+y=1のæ>0,y0 の部分をCで表す。曲線 C上に点 P(x1,y) をとり、点Pでの接線と 2直線 y=1,および, x=2との交点 をそれぞれ,Q,R とする. 点 (2,1) をAとし, AQRの面積をSとお く. このとき、次の問いに答えよ. (1) 積 141 をkを用いて表せ. +2y=kとおくとき, (2)Sをkを用いて表せ. (3) PC上を動くとき, Sの最大値を求めよ. 精講 (1)点Pはだ円上にあるので,'+4y=4 (x>0, y>0) をみた しています。 (2)△AQR は直角三角形です. (3)のとりうる値の範囲の求め方がポイントになります. 解答は2つありま すが、1つは演習問題1がヒントになっています。 解答 (1)'+4y=4 を変形して (x+2y1)2-4.xy=4 k²-4 xy= 4 (2) P(x1,y1) における接線の方程式は .. よって、 xx+4yy=4 Q(4-441, 1), R(2, 4-271) X1 AQ=2—4—4yı _ 2x₁+4yı−4 X1 X1 4-21_2.1+4y-4_1+2y-2 4yı AR=1- 4y1 S=11AQ AR = (+241 22191 = 2y1 = k2-4 (x+2y1-2)2_2(k-22 x=2 Q y=1 P. (1151) R 2xc

マーカーを引いた部分の計算がわかりません ルート３分の4－Xではないのでしょうか？？

24 第1章 武と曲線 基礎間 12 極方程式 (IV) 次の問いに答えよ (1) 直交座標において,点A(√3,0)と直線:エー 比が3:2である点P(x, y) の軌跡を求めよ。 一方からの距離の (2) OF 精講 (2) (1)におけるAを極軸の正の部分を始線とする極座標を定める。 このときPの軌跡をr=f(0) の形で表せ. ただし, 002, r>0 とする. (3) Aを通る任意の直線と (1) で求めた曲線との交点をR, Q とするとき 1 + 1 は一定であることを示せ. QA RA (2) 極が原点ではないので 「x=rcoso, y=rsinO」 とおくことは できません。 そこでベクトル化して OP=OA+AP と考えると AP= (rcose, rsin0) とおくことができます. (rcose, rsine) (3) (2) 極方程式を用意してあり, QA と RA, すなわち, 極からの距離がテーマであることを考えれば,RとQの 極座標ということになりそうですが, ポイントは, R, A, Qが同一直線上にあるということです. 右図からわか るように, Q(r1, 0) とおけば, R(12, π+0) と表せます。 ここがポイントになるところです. A π+О A X 72 (1)Pから直線におろした垂線の足をHとする と、PH= x-- 13 また, PA=(x-√3)2+y2 PA2:PH2=3:4 だから 3PH2=4PA2 P 0 R 2 .. 3xc 13)² = 4{(x−√3)² + y²) A (5) よってx'+4y=4 ( だ円)・・・・・・(*) x= √√3 X

マーカーを引いた部分が言えるのは何故ですか？

16 第1章 式と曲線 夜間 6 放物線(II) 飲物 year(a>0)の焦点をF, 単線をんとするとき, 次の問い に答えよ。 (1)下の座標 みの方程式を求めよ。 (2)year上の点P(1, at) (10) における接線lと軸との交点を Q.Pからんにおろした垂線の足をHとするとき, PF=FQ である ことを示せ (3)はFPH を2等分することを示せ. 精講 (3)は放物線のもつきれいな性質の1つです。 様々な証明方法があり ますが、(2)がその誘導になっています. 着眼点は四角形 PFQHの 形状です. また,にベクトルを用いた証明もかいておきました. (3) FO また。 よっ は 解答 (1)4y=x2 より 5 ポイント I 4a 焦点Fは (0.1) 準線んは y= 1 4a (2)g=2azより,P(t, at2) における 接線はy-at=2at(x-t) :.l:y=2atx-at2 よって, Q(0, -at2) (0+1) 7 y= :: FQ= 1 4a +at2 また,図より |PF=PH= 1 4a -+αt2 (定義より) よって, PFFQ Ay ate 1 4aF O 14 4a H -ate Q 0

マーカーを引いた部分の式は何故必要なのですか？？

基礎問 10 第1章 式と曲線 3 双曲線 (I) 次の問いに答えよ. (1) 双曲線 4.2--16.z+2y-1=0 の焦点の座標と漸近線の方程式 を求めよ. (2)2つの定点A(1, 2), B(1, 4) からの距離の差が1となる点P(x, y) の軌跡の方程式を求めよ. (3) 点 (1,0) を通り, 双曲線 x2 (付) 4 -y2=1 に接する直線の方程式を求めよ. 精講 双曲線については,次の知識が必要です. <定義> -=0 2つの定点 A, B からの距離の差が 一定の点Pの軌跡, すなわち, -√a²+62 |AP-BP|=一定 A -ao (一定値は頂点間の距離) 〈標準形〉 (主軸 軸) x² •頂点は (±a, 0) -=1 (a>0,6>0) で表される図形は, 双曲線で ・中心は原点 • 焦点は (±√2+62, 0) (<定義> ではA,Bが焦点) 漸近線は a 双曲線上の点 (x1, yi) における接線の方程式は X1X Yiy -=1 a² 62 解答 al 8 188 P va2+62 DC YB 26 + (1) 4.x²-y-16x+2y-1=0 は4(x-2)-(y-1)=42 (x-2)(y-1)2 22 42 x2 y2 - -=1 ここで,双曲線 1 の焦点は(±2√5,0) 22 42 漸近線は, =0,すなわち, y=±2x 2 =0

マーカーを引いた式はどのようにして求めたものですか？

基礎問 8 第1章 式と曲線 2 円(Ⅱ) だ円+y=1の>0, y0 の部分をC で表す. 曲線C上に点 (1)をとり、点Pでの接線と2直線 y = 1, および, x=2との交点 をそれぞれ, Q R とする. 点 (2,1) をAとし, AQR の面積をSとお く、このとき、次の問いに答えよ. (1)+2y=k とおくとき 積をkを用いて表せ. (2) Skを用いて表せ. (3) PC上を動くとき, Sの最大値を求めよ. 精講 (1)点Pはだ円上にあるので,'+4y=4(x>0, yi > 0)をみた しています。 (2) AQR は直角三角形です. (3)のとりうる値の範囲の求め方がポイントになります. 解答は2つありま すが、1つは演習問題1がヒントになっています。 解答 (1) '+4y=4 を変形して (x+2y1)2-4xy=4 k²-4 . 2191= (2) P(x1,yì) における接線の方程式は Iix+4yy=4 (4-4y₁ Q(4-49, 1), R(2, 4-271) X1 Y x=2 よって, AQ=2- 4-4g_2.1+4g-4 X1 X1 AR=1- `_4-2.12.01+4y-4_1+2y-2 4y1 4y1 2y1 S=1/2AQAR=(z+2u-22(-2) 143 2x191 k²-4 A y=1 P AR 12

赤線の式がどっから出てきたかがわかりません！！ 教えてください🙇

第1章数 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を, bn=an+1-an とおくこ 81 とにより求めよ。 *(1)a=1, Qn+1=2an+n-1 (2) a1=1, An+1=3an+4n O

白い四角の中の式になる理由を教えてください

2 最も大きい正方形を作りたい。 このとき使用するタイルの枚数を求めよ。 横2cm×縦3cmの長方形のタイルが65枚ある。 このタイルを敷きつめて 【地方初級・平成18年度】 1 52枚 254枚 3 56枚 460枚 5 62枚 Jumat d DA

イオン化傾向と電池の問題です。(1)で答えが4になっているのですがなぜ1はダメなのでしょうか？

金属板A 180. 金属のイオン化傾向と電池金属Aと金属Bがある。 金 A, Bをそれぞれ希硫酸に入れると,Aの表面からは水素 が発生したが,Bはまったく反応しなかった。 また、陽イオ ンB2+ を含む水溶液に金属Aを入れると, 金属Bが金属Aの 表面に析出し, 水溶液中には陽イオン A3+ が溶け出した。 次 の各問いに答えよ。 (1) 金属板A, B を希硫酸に入れて図のような電池をつくっ 次の①~④のうち,正しいものを1つ選べ。 ②Aが還元され,Bが酸化される。 ① Aが酸化され, Bが還元される。 金属板日 希硫酸 第1章 物質の変化 ③Aが正極になり,Bが負極になる。 Aが負極になり,Bが正極になる。 02H 0H (2) B2+ を多量に含む水溶液に金属Aを入れると, 金属Bが x[mol] 析出した。 溶け出 した金属Aの物質量を, x を用いて表せ。

(1)でどうして第(n-1)群までに入る数の個数を考えるのですか？n-1として考える理由がわかりません。

第1章 数列 B 群に分けられた数列 応用 正の偶数の列を, 次のような群に分ける。 ただし, 第n群には 例題 4 n個の数が入るものとする。 24, 6 8, 10, 12 | 14, 16, 18, 20 | 22, 第4群 5 第1群第2群 第3群 (1)n≧2 のとき,第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2)第10群に入るすべての数の和Sを求めよ。 10 10 (1) 第1群から第 (n-1) 群までに入る数の個数を考える。 (2) 等差数列の和として求める。 解答(1)第1群から第 (n-1) 群までに入る数の個数は 1+2+3+....+(n-1)=1/21n(n-1) よって, 第n群の最初の数は、もとの偶数の列の 15 第 1/12n (n-1)+1} 項であるから n-n+2 2.{/12n(n-1)+1}= (2)第10群の最初の数は, (1) の結果を用いて 102-10+2=92 もとの偶数の列 の第項は2k よって, 和 S は, 初項 92, 公差 2 項数10の等差数列の和 であるから S= ・10{2・92+(10-1)・2}=1010 2