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問
76 第3章 図形と式
47 軌跡(V)
mを実数とする.xy平面上の2直線
①,
x+my-2m-2=0 ......
②
mx-y=0
について,次の問いに答えよ.
(1) ①,②は m の値にかかわらず,それぞれ定点A,B を通る.
A,Bの座標を求めよ.
(2)
②は直交することを示せ .
(3) ① ② の交点の軌跡を求めよ.
mについて整理して、mの係数が0になる時、mの値に、左右されない。
精講
(1) 37 で勉強しました! ｢mの値にかかわらず｣ とあるので「
について整理して、恒等式です.
m=0かも
(2) 36 で勉強しました。 ②が「元｣の形にできませんしれんから
(3) ①,②の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとが
なり大変です. したがって, (1), (2)をうまく利用することになりますが, 45
の Ⅲを忘れてはいけません。
次やるに範囲がつかないか調べること)
解答
(1) m の値にかかわらずmx-y=0が成りたつとき,x=y=0
A(0, 0)
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
<m について整理
.. B(2, 2)
(2) m・1+(-1)・m=0 だから,
① ② は直交する.
ADDIM 540
(3) (1), (2)より ①, ② の交点をPとすると ①1②
より, ∠APB=90°
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で(1,1)
136
y
また,AB=2√2 より半径は2~
よって, (x-1)^2+(y-1)2=2
ここで, ①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する
(S)
ことはないので,点(0, 2)は含まれない。
よって, 求める軌跡は
円 (x-1)2+(y-1)2=2 から,点(0, 2)を除いたもの.
注一般に,y=mzn型直線は,y軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,yが必ず残って, z=kの形にでき
ないからです.逆に,の頭には文字がついているので, m=0 を
代入すれば,y=nという形にでき,x軸に平行な直線を表すことが
できます.
参考
45 の要領で①, ② の交点を求めてみると
2 (1+m)
y=
1+m²,
x=
②に代入して, x+
となり,まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. しかし, 誘導がなければ次のような解答ができます。
x=0のとき, ① より m= y
IC
演習問題 47
② ポイント
2m(1+m)
1+ m²
2y_2=0
IC
77
x2+y2-2y-2x=0
次に, x=0のとき、①より, y=0
これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ① ② の交点の軌跡は円 (-1)2+(y-1)2=2 から点
(0, 2) を除いたもの.
1
... (x-1)2+(y-1)²=2
定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は,
ある円周上にある. その際、除外点に注意する
tを実数とする.xy平面上の2直線l:t-y=t,
m:x+ty=2t+1 について,次の問いに答えよ.
(1)
tの値にかかわらず, l, mはそれぞれ,定点A,Bを通る.
A, B の座標を求めよ。
(2) 1, m の交点Pの軌跡を求めよ.
第3章
