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基本例題 212 最大・最小の文章題(微分利用)
類 群馬大
半径aの球に内接する円柱の体積の最大値を求めよ。 また,そのときの円柱の高
基本 211
さを求めよ。
指針 文章題では, 最大値・最小値を求めたい量を式で表すことがカギ。 次の手順で進める。
AM-*
① 変数を決め、その変域を調べる。
[②]最大値を求める量(ここでは円柱の体積), 変数の式で表す。
③3 ②2 の関数の最大値を求める。なお,この問題では、求める量が,変数の3次式で表
されるから,最大値を求めるのに導関数を用いて増減を調べる。
無
なお,直ちに1つの文字で表すことは難しいから,わからないものは,とにかく文字を使
って表し、条件から文字を減らしていくとよい。
ならば、方程式
#SEN
計算がらくになるように
2h とする。
解答
円柱の高さを2h (0<2h<2a) とし,
底面の半径をrとすると
r²=a²-h²
0 <2h<2aから 0<h<a Fo
円柱の体積を Vとすると
V=лr² 2h=2(a²-h²)h
=-2π(h-a²h)
Vをんで微分すると
V'=-2π (3h²-α²)
=-2π(√3h+a)(√√3 h-a)
0くん <a において, V'=0となる
a
=1/3のときである。
のは,h=
ゆえに,0くん<a におけるVの増
減表は,右のようになる。
したがって, V はん=
a
√3
よって体積の最大値
次回数でも学んだ
h
V'
2T
V
4√3
9
のとき最大となる。
9-m-
0 ...
h=
a
=1/3のとき,円柱の高さは 2 - 2√3
√3
a
3
-ла³,
そのときの円柱の高さ 23
3 a
*** 2x(a²-3).-4√3 a
/3 9
+
a
√√3
0
極大
練習
②212 底面の半径,および側面積を求めよ。
[R
a
半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大
三平方の定理=y(1)
変数の変域を確認。
atla31 82x25-
[S-
(円柱の体積)
= (底面積)×(高さ)
dV
dh
をV' で表す。
h = 0, αは変域に含まれて
いないから 変域の端の値
に対するVの値は記入し
ていない。
今後,本書の増減表は,こ
の方針で書く。
12h
12π(a²-h²)h
に対し, その高さ,
