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基本の
PTAIN
95 関数が極値をもつための条件
は定数とする。 関数f(x)=-
x+1
00000
x2+2x+α について、次の条件を満たすαの値ま
たは範囲をそれぞれ求めよ。
f(x) が x=1で極値をとる。
(2) f(x) が極値をもつ。
167
×
指針 f(x)は微分可能であるから
f(x)が極値をもつ
[[1] f'(x) = 0 となる実数αが存在する。
[[2] x=αの前後でf'(x)の符号が変わる。
まず必要条件[1] を求め、それが十分条
([2] も満たす)かどうかを調べる。
f'(x).
>0
/p.162 基本事項 基本 重要 96
fo)?
f (x) - 0
/ '(x)
(x)
<0 <0
>0
小
(x) =0
(1) f (1) =0を満たすαの値(必要条件)を求めてf(x)に代入し,x=1の前後で
f(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。
(2)f'(x)=0が実数解をもつためのαの条件(必要条件) を求め,その条件のもとで,
f(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。
なお, 極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。
4
定義は,x2+2x+α=0を満たすxの値である。
f(x) の (分母) 0
f'(x)=
1(x2+2x+a)(x+1)(2x+2) x2+2x-a+2
(x2+2x+α)2
u'v-uv'
(x2+2x+α) 2
02
(1) f(x) は x=1で微分可能であり, x=1で極値をとる
とき f'(1) = 0
(分子)=1+2-a+2=0, (分母)=(1+2+α) 0
=(x+3)(x-1)
(x2+2x+5)2
ゆえに、f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ
り, f(x) は極大値f (1) をとる。 したがって a=5
(2)f(x) が極値をもつとき, f'(x) = 0 となるxの値cが
あり, x=cの前後でf'(x) の符号が変わる。
よって, 2次方程式 x2+2x-α+2=0 の判別式Dについ
D0 すなわち 12-1 (a+2)>0
よって a=5 このとき f'(x)=--
て
これを解いて a > 1
必要条件。
<a=5はの解。
十分条件であることを示
す。
(この確認を忘れずに!)
+
y=x+2x-a+2
2 関数の値の変化、最大・最小
CI
C2 X
0
このとき、f'(x)の分母について {(x+1)+α-1}'≠0
であり、f'(x)の符号はx=cの前後で変わるからf(x)
は極値をもつ。 したがって
a>1
x=c(C1とC2の2つ)の前
f(x)の符号が変わる。
これがf(x)
[類 名城大]
練習
95
関数f(x)=
ekx
x2+1
(kは定数) について
(1)f(x)がx=-2で極値をとるとき,kの値を求めよ。
(2) f(x) が極値をもつとき,kのとりうる値の範囲を求めよ。
p.191 EX90 (2)
A
