[広島大]
基本100
重要 例題
すべての自然数nに対して,
2"
n
(1)
k=1 k
(2) 無限級数1+
(2) 数列
指針▷ (1) 数学的帰納法によって証明する。
1
2 3
1
+ +
することの証明
+1が成り立つことを証明せよ。
213
+
n
･･･････ は発散することを証明せよ。
基本 117, 重要 126
2m
n2 とすると
k=
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
は0に収束するから,p.201 基本例題 117 のように、199 基本事項 ②②
4章
15
ここで,m→∞のときn→∞となる。
5無限級数
計算すると,等
はさみうちの
比)
II)
an-br
る。
内法を利用
■れる。
計算
解答
2"
(1)
・+1
k=1
k
2
① とする。
[1] n=1のとき 1/2=1+1/2
k=1k
= +1
2
よって,①は成り立つ。
[2]=mmは自然数)のとき、①が成り立つと仮定すると1/3+1
このとき
2m+1
k=1k
=
=
2m
2m+1
1
+
1
k=1k
k=2+1 k
2 (1+1)+2+1+2+2+2
k
-nxn
1-x)
2x2+1
2m+1=2m2=2"+2"
2"+2"_miei-9200
=m+
1
1
1
+1+
+
+
2m+1 2m+2
m
2
+1
1>
2m+k
2m+1
2
(k=1,2,
1+1.2mm+1
+1+
>
よって, n=m+1のときにも ① は成り立つ。 0
1
2m+2m (= 2m+1
2m-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。mil
I (2) Sm=211 とおく。2" とすると,(1)から
2m
m
Sn≥
+1
k=1 k
k=1
ここで,m→∞のときn→∞ で lim
am
(+1)=0
よって
limSn=8
→∞
n→∞
00
したがっては発散する。
lan≦bn でliman=∞⇒limbn=∞ (p.174 基本事項 ③ ②)
81U
81U
n=1 n
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