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重要 例題
130点(x+y, xy) の動く領域
重要 129
0000
実数x, y が x2+y'≦1 を満たしながら変わるとき,点(x+y, xy) の動く領域 |
を図示せよ。
110.1
軌跡である
の関係
式を導く
207
指針 x+y=X, xy = Y とおいて,X,Yの関係式を導けばよい。
→x2+y2=(x+y)-2xy を使うと
X2-2Y ≦1
① 条件式x2+y2≦1 を X, Y で表す。
しかし、これだけでは誤り!
2 x, yが実数として保証されるようなX, Yの条件を求める。
→ x,yは2次方程式ピー(x+y)t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0の2つの解で
あるから,その実数条件として
判別式D=X2-4Y≧0
X=x+y, Y=xy とおく。
実数条件に注意
(x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≦1
解答
x2+y2≦1から
したがって
Y≧
X2 1
2 2
①
これだけだと
不十分
Yで表す。
MIX+2
また,x,yは2次方程式(x+y)t+xy=0 すなわち
-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす
D≧0
Y
Y≤X
ると
示するか
ここで
Kyにおき
D=(-X)-4・1・Y=X2-4Y
よって, X2-4Y ≧ 0 から
12 数 α, βに対して
p=a+β,g=αβ
とすると, α, βを
解とする2次方程
式の1つは
x-px+q=0
X2
Y≤
4
X2
①②から
2
2
X² - 1/1 SYS X 24
変数を x, yにおき換えて
4
YA
y=
3
3章
1 不等式の表す領域
まるとき
x²
1
y=
0
を
2 2
x-y)に
したがって、求める領域は、右の図の
斜線部分。 ただし、 境界線を含む。
√√2
x
x2
2 2
るとx=±√2
1等とす
城を図
実数条件(上の指針の2)が必要な理由
検討
x+y=X, xy=Yが実数であったとしても,それがx+y's1 を満たす虚数x,yに対応し
たX,Yの値という可能性がある。 例えば, x= +1/2/i.y=1/12/1/21のときx+y=1 (実
1
2
数), xy=
// (実数)で,x+y's1 を満たすがx,yは虚数である。このような(x,y) を
2
除外するために実数条件を考えているのである。
練習 座標平面上の点(p, g) は x2+y28,x0,y≧0で表される領域を動く。 このと
130点(+α, pg) の動く領域を図示せよ。
p.210 EX80
