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基礎問
15 積と商
次の問いに答えよ.
(1) 21=1+√3i, z2=1+i とするとき, Z1Z2, Z2
ⅡI.
れぞれ求めよ.
1+√3 i
1+i
(2) z=
精講
複素数の積や商の計算には,極形式が有効に働きます. それは, 次
のような関係式が成りたっているからです .
を計算し, sin 15° の値を求めよ.
Z2
= (coso+isin01), z2=12 (cos O2+isin02) と表されて
いるとき,
zizz=rarz{cos(O1+O2)+isin (01+02)}
21-¹¹(cos (01-0₂)+isin (0₁-0₂)} (TEEL, 22=0)
12
このことは,次のように表すこともできます.
Ⅰ. |12|=|21||22|
arg (2122) = argzi+argz2
21
22 122
21 の絶対値と偏角をそ
21
arg |= argz-argz2
注偏角の公式の表す意味は次の通りです.
13 で学んだ様に, 偏角は無数に存在していますから, Z1Z2の偏角と
( 21 の偏角 + Z2 の偏角) が一致するとは限りません. たとえば, argz = 200°,
argz2=300° とすると argzi+argzz=500° です. しかしこのようなとき,
13 の によれば140℃=500°360°) と答えてよいので
argz1z2=140° と答えるわけです. すなわち,この公式は
「Z1の偏角+ 22 の偏角 = 2122 の偏角のうちのどれか1つ」
という意味をもっているのです.
(1)=2(cos60°+isin60°), z2=√2 (cos 45°+isín 45°) より
|z|=2, argzı=60°|z2|=√2, argz=45°
|12|=|1||22|=2√2
arg (Zizz) = argi+argzz=105°
また、
(2)
2₂
2=
=√2
argzi-arg2=60°-45°=15°
arg(21)=1
1+√√3i_ (1+√√3i)(1−i) _ (√ 3 +1)+(√3 −1)i
1+i (1+i)(1-i)
2
6-
√√2
V6+√2
4
sin 15°=
=15°
ポイント
また, (1) より z=21 だから、
Z2
演習問題 15
=√2
z=√2 (cos15° + isin 15°
① ② より
-√²₁)
6-√2
4
II.
Ⅰ. |2122|=|21||221,
112₁2₂=12₁12₂1
<arg (zizi) = argz: targz2
2₁2₁
2₂
Z₂
1221
21
arg (2₁)=;
22
arg (2122) = argitargz2
31
<arg Fargz-arg 2₂
=arg 2₁-arg 22
第2章
α=1+i, B=√3+i について,
(1) dl, arga を求めよ.ただし, 0°≦arga <360°とする.
(2)y=-
= ℓe とおくとき, yl, argy を求めよ.ただし,
180°≦argy <180°とする.
