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と
素
のの
参照。
倍
や
考え
さ
の
はる
去は、
音数
され
本書
数は
して、
含め
・35
きる
= 5.7
基本 例題 103 約数と倍数
は0でない整数とする。
a,
a
1①1) 1/14/0
a
がともに整数であるようなαをすべて求めよ。
とんがともに3の倍数ならば, 7a-46も3の倍数であることを証明せよ。
(2) a
(③) a が6の倍数で,かつaが6の約数であるとき,aをbで表せ。
「αが6の倍数である」ことは,「6がαの約数である」
ことと同じであり,このとき, 整数kを用いて
a=bk
と表される。このことを利用して解いていく。
(1) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。
解答
(1) が整数であるから, αは5の倍数である。
ゆえに,
って
40 40 8
a
5k k
40
が整数となるのはんが8の約数のときであるから
a
k = ±1, ±2, ±4, ±8
α=5kと表される。
を整数として
したがって α = ±5, ±10, ±20, ±40
(②) a,bが3の倍数であるから,整数k, lを用いて
0
a=3k, b=3l
と表される。
よって 7-46=7・3k-4・3l=3(7k-4l)
7k4lは整数であるから, 7a-4bは3の倍数である。
(3)
a が6の倍数, αが6の約数であるから, 整数k, lを用いて
a=bk, b=al
と表される。
a=bk をb=al に代入し, 変形すると
b=0であるから
(検討
これは
誤り!
b(kl-1)=0
kl=1k,lは整数であるから
a=±b
したがって
00000
p.468 基本事項 ①
k=l=±1
bαの約数
a=bk
Laは6の倍数
< =k(kは整数)とおい
5
てもよい。
< α = 5k を代入。
負の約数も考える。
<a =5kにkの値を代入。
整数の和差積は整数で
ある｡
α を消去する。
k,lはともに1の約数であ
る。
上の解答の で, lを用いずに, 例えば (2) で α=3k, b=3k のように書いてはダメ!
これでは α = bとなり, この場合しか証明したことにならない。 α, 6は別々の値をと
のようにk, Z (別の文字) を用いて表さなければならない。
る変数であるから,
練習 (1) 2つの整数 α, bに対して, a=bk となる整数kが存在するとき, bla と書く
103
ことにする。
このとき, a 20 かつ2αであるような整数α を求めよ。
証明せよ。 ただし, a, b, c, d は整数とする。
倍数ならば, ' + 62 は8の倍数である。
とげcdはabの約数である。
469
4章
7 約数と倍数 最大公約数と最小公倍数
17
5
O" ON YO
3
7
し
