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基本 例題 30
整数解の組の個数(重複組合せの利用)
00000
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z)は何個あるか
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
p.294 基本事項 基本-20
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個の○と2個の仕切りの
順列を考え、仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x, y, zとする。
例えば 〇〇〇一〇〇一〇〇には
(x, y, z)=(3, 2, 2)
一〇〇〇〇〇〇〇には
(x, y, z)=(0, 2, 5)
がそれぞれ対応する。
(2)x,y,zが正の整数であることに注意。 (1) の考え方では0となる場合も含むから
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0であってもよい X≧0, 0, Z≧0 の整数解の場合((1) と同じ)に帰着させ
る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, zに割り振ってから, 残った7個の
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,別解のように,10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるから
(
別解求める整数解の組の
個数は,3種類の文字
zから重複を許して7個
る組合せの総数に等しい
ら3H7=3+7-1C7=9C7
=9C2=36 (1)
X = 0, Y ≧ 0,Z≧0
C=C2=36(個) 合韻高
(2)x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
このとき,x+y+z=10 から
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10x=x+1, y=Y+l,
重要 例題 3
次の条件を満
(1) 0<a<b
CHART &
大小関係が条
(1)条件を満た
ら4個の数字
(2) (1) とは違
(2,2,2,2
それらの数
重複組合せ
別解として
A=a, B=
(a, b, c,
(A, B, C.
するから,
解答
(1)1,2,
小さい順
まる。
よって、
(2) 0, 1, 2
い順に
よって、
よって
A=
条件 0
7!
よって
X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0
......
A
z=Z+1 を代入。
別解
求める正の整数解の組の個数は, A を満たす0以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個
OC
(別解 10個の○を並べる。
である。
よって、
