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解き方
基礎
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円の方程式(2)
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問題
(1) 次の方程式はどのような図形を表すか。
(ア) +y°+6.x-4y-3=0
(2) +y°+6x + ay+a°-3a=0が円を表すとき,
(ア) 定数aの値の範囲を求めよ。
(イ) この円の半径が最大となるとき, 定数 aの値とその半径を求めよ。
(イ)x+ y°+ 2.x-6y+10 = 0
問題
解き方
中イ
た。
解き方のポイント
*+y+x+my+n=0という形の方程式では, まず左辺を(x-a)°+(y-b)° という平方の形に変形する
(x-a)°+(y-b)° = rと変形できれば, これは円を表し, その中心の座標と半径がわかる。
解答
解答(1)(ア)
x*+y°+6x-4y=3
(x*+6x+9) +(y°-4y+4) = 9+4+3 A
(x+3)°+(y-2)? =4°
これは,中心が (13, 2) で, 半径4の円を表す。
(x-a)+(y-b)°=ドの
変形する。
.. (答)
(イ)
*+y°+2x-6y= -10
(x°+2x+1)+(y-6y+9) =1+9-10
(x+1)°+(y-3)?=0B
これは,x= -1, y=3, つまり点(-1, 3) を表す。
方程式が
(x-a}+(y-b}=pr>0)
と変形できれば, 中心(a, b), 半
径rの円を表している。
B
A°+ B° = 0=→A=0, B=0
方程式が(x-a)* +(y-b)° =0 と
形できれば,点 (a, 6) を表してい
(2)(ア)
O
°+y°+6x+ay = -α'+3a
(+6x+9)+(*+の+)-9+4-4
- a+3a
る。
+(y+)=-\が+3a+9
この方程式が円を表すための条件は, -+3a+9>0©
3
a-4a-12<0
方程式(x-a)°+(y-6)° =Dkの表す
図形は、
k>0のとき,円
k=0のとき,点 (a, b)
k<0のとき,存在しない
さの円さ
(a+2)(a-6)<0
-2<aく6 ……
(谷)
(イ)(ア)のとき, 円の半径をrとすると,
3
パ=--+3a+9
4
3
(a-2)?+ 12 D 18
-2<a<6の範囲でパはa=2のとき最大値12をとる。
このときr>0より, r=2/3
以上より,半径が最大となる aの値は, a=2
であり,このときの半径は, 2,3
8A ()
D
が最大となる場合を求めるので,
平方完成を行う。
ミー
…(答)
.……… (答)
SAR
解き方
