練習曲線(x2+y2)=4x2y2 の極方程式を求めよ。 また,この曲線の概形をかけ。 ただし,原点 0 を
③ 179 極,x軸の正の部分を始線とする。
x=rcoso, y=rsin0, x2+y2=r² を方程式に代入すると
(²)³ = 4(r cos 0)²(rsin 0)²
6-¹ sin²20=0
よって
ゆえに
よって
ここで,r=-sin20 から
-r=sin{2(0+n)}
点(r, 0) 点(-r, 0+π) は同じ点を表すから,r=sin20 と
r=-sin 20 は同値である。
また, 曲線 y=sin 20 は極を通る。
したがって、求める極方程式は
r = sin20
次に, f(x,y)=(x2+y2)-4x2y2 とすると, 曲線の方程式は
f(x,y)=0
f(x, -y)=f(-x,y)=f(-x, y)=f(x,y) であるから,
曲線 ① は x軸, y 軸, 原点に関してそれぞれ対称である。
20,0≦a≦として、いくつかの0の値とそれに対応する♪
の値を求めると,次のようになる。
r¹(r+sin 20) (r-sin 20)=0
r=0 または r=sin20 または r-sin20
0 0
r
0
1212
......
π
π
8 6
1 √2
√√2√3
2 2
11
π
4
1
π
3
これをもとにして、 第1象限にお
ける ① の曲線をかき, それと x
軸、y軸, 原点に関して対称な曲
線もかき加えると、曲線の概形は
右図のようになる。
3-8
-π
√3√2
2
2
5
12
R
1
2
π
YA
0
J18
(1,5)
π
(√3,0)
2
(1,0) x
(20)
(1/2.0)
←2sin@cos0= sin 20
←=0のとき
sin20=0
←(-x)^2=x2,
(-y)²=y²
X3
1402
←y=sin20のグラフは
直線
に関して対
称でもある。
STUF
←図中の座標は,極座標
である
検討 α を有理数とする
a
とき,極方程式
= sinal で表される曲
線を正葉曲線 ( バラ曲
線)という。
