LO
は3で割り切れ
P.544 基本事項
演習 例題 132 合同式を利用した証明 (2)
[千葉大 ]
n
使用して証明してみ
または2ということ
二、 次のようになる。
■2 (mod3) のとき
の倍数である。
は120
は奇数とする。このとき,次のことを証明せよ。
12-18の倍数である。
(3)
(2)
は3の倍数である。
演習 131
指針
明
決まった数の割り算 (倍数)の問題では合同式の利用による解答を示す。
(1)は法8の合同式を利用し、(2)は法3の合同式を利用することはわかるが,(3)を
法 120 の合同式利用で進めるのは非現実的。 そこで (1),(2)(3)のヒント
に従って考えると n-n=n(n2+1) (n2-1)
(2)から、3の倍数→↑↑
は8×3=24 の倍数
L (1) から, 8の倍数
120÷24=5であるから後はn-nが5の倍数であることを示せばよい。
煩雑になるので,
解答
13) は省略した。
し
(1) n は奇数であるから, 8で割った余りが偶
数になることはない。
ゆえに
n 1 3
5
7
n²
1 9=1 25=1 49=1
n=1,3,5,7(mod8)
のように最
n2-10
0 0 0
このとき,右の表から
断っておくこと。
n2-1=0(mod 8 )
よって, nが奇数のとき,2-1は8の倍数である。
(2)=0,12(mod3) のと
n 0 1
-= 1 (mod3)
き右の表から
n5
0 15 1 25=2
2|||
=1 (mod 3 )
n-n=0 (mod3)
n5-n 0 0 0
条件では, nは奇数であ
(mod m),
(3) n-n=n(n+1)(n²-1)
よって, n-nは3の倍数で
ある。
るが, すべての整数nに
ついて, nnは3の倍
数である。
