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(66)
第1章 数
列
Think
例題 B1.30 群数列(2)
****
2の累乗を分母とする既約分数を次のように並べた数列について、
1
13
5 7
1
3
5
16'
1 3
2'4'4'8'8'8'8' 16' 16'
(1) 分母が2" となっている項の和を求めよ.
(2)初項から第1000項までの和を求めよ.
15
1
16'32'
*
←
p.
手
考え方 分数の数列は、分母と分子に着目する. この数列では同じ分母で1つにまとめる
(分母) 2,4,4,8,8,8,8,16,1616, 16, 16, 16, 16, 16,
1個 2個
4個
8個
となっている.つまり, 分母が同じ数である項をひとつの群と考えると, 第2群に
分母が2" の分数が2個あることがわかる.さらに,分子に着目すると,
.....
(分子)1|13|1,3,5,713,5,7,9,11, 13, 15………… となっている。
10
解答
(1) 分母が 2 である分数をまとめて第ん群とする数
列を考えると,
1 1 3 1 3 5 7 1 3 5
15 1
24'48'8'8'816'16'16'
16 32
となり、分母が2" の分数は2個あり,分子は初
わけられている
等差数列の和
1. 公差2の等差数列になっているから,その和
は,
Sn=
n(ate)
2
を利用
1+3+5+…+(221-12-2
(2) 各群の項数は, 1, 2, 48, 16, ･･････より
2"
-=2n-2
分子 1+3+5+......
2"
S
第n群までの項数の和は、
1 (2"-1)
2-1
=2"-16
2°_1=511,2-1=1023より 第1000項は第
10群の第489項なので、求める和は第9群までの
和と第10群の第489項までの和となる.
k=1
9
よって,
2-2
1 3
'+
+
210
20+......+.
977 SOI+
1
(29- -1)
2
1
-
+
2-1 210 2
2
-489-(1+977)
511 4892 500753
+
2 1024
1024
+ (2・2"-1_
2" (1+2.2-1-1)
=22n-2
2
第1000項が第何群に
っているかをまず調べる
9
1/2. 公園
22-2は初項
2の等比数列の初項が
第9項までの和
1+3+ ...... +977は,
初項 1,末項 977,
頭数 489
等差数列の
Focus
分数の群数列は分母,分子に着目して見抜く
1/6
習
[30]
*
数列
(1)
2-3
1-3
'2'3'3
1-2
2-2
+1136-
13
は第何頭か .
3-3
1
3'4
23
4
1
4'4'4'5
5/5
(2) 初項から第1000項までの和
………について
