基礎問
182
列
第7章 数
120 記号を用いた和の計算(IV)
一般項が α=n・2"-1 (n=1,2,3,…) と表される数列 (
について Sa+a+..+an とおく. このとき, S-2Sを計算
することによってSを求めよ.
|精講
一般項が(カの1次式)xy**(*1)という形をしている数
和の求め方は2つあります。
I. S-rs を計算すると, 等比数列の和になって, S を求めることができる
rは,r"+c が等比数列で,その公比になります。(
ⅡI.119 の
f(k-fk+1) f(k+1)f(k)でもよい)
の形に変形する
解答でIを, (別解) で ⅡI を学びましょう.
解答
S=1・1+2・2'+3・22+..+n・2n-1
1・2'+2・22+..+(n-1)2"-1+n・2n
2S=
: S-2S=1+2+2²+...+2²−¹_n.2n
∴.S=n・2"-(1+2+22+..+2^-1)
2”-1
2-1
=n・2n-
2回目の答え
=(n-1)2"+1
(別解) f(k)=(ak+b)2 とおくと､
5= |-(1-h)-2h
このようにおとりゅう
+(
f(k-1)=(ak+6-α)2k-1
f(k-f(k-1)=(ak+b)2-(ak+6-α)2k-1
={2(ak+b)-(ak+b-a)}2k-1
=(ak+b+a)2k-1
2k-1 と一致するような α, b は
これが,
a=1, 6+α=0 をみたすので, a=1,6=-1
よって, f(k)=(k-1)と定めると
k.2k-1=f(k) f(k-1)
心
