95 接線の本数
曲線 C:y=x-x 上の点を T (t, t-t) とする.
O
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
✓ (2)
(2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, α, bのみたす関係式
を求めよ。 ただし, a > 0, b = α-α とする.
(3) (2)のとき、2本の接線が直交するようなα, b の値を求めよ.
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は、 接点の個数と一致し
ます. だから, (1) の接線にA(a,b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 94 注で学習済みです.
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します.
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが 「接線が直交する｣
を式にしたものです. 接線の傾きは接点における微分係数 (83) ですから,
2つの接点における微分係数の積= -1 と考えて式を作ります.
|精講
解答
(1) f(x)=x-x とおくと,f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
.. y=(3t²-1)x-2t³
(2) (1) の接線は A(α, b) を通るので
b=(3t²−1)a-23
(0)
... 2t3-3at2+a+b=0 ...... (*)
(*)が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at'+α+ 6 とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値、極小値をもち,
( 極大値)×(極小値)=0 であればよい.
94 注
g'(t)=6t-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t = 0, t=α だから
185
y=x²-x|
A (a,b),
(t,t³-t)
