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重要 例題166 定積分と和の極限 (3)
・対数の利用
00000
[防衛医大
基本144)
限値 lim
1 (4n)!
nn V (3n)!
を求めよ。
指針 まず,
1/(4n)!
を簡単にすることを考える。 α
1 (An)!
nV (3n)!
nV (3n)!
とすると
3n (371)...･･2･1
an-
1 An(An-1).(3n+2)(3n+1)+3n(3n-1)........2.1
n
=1/12 ((3n+1)(3n+2) (3n+n-1)(3n+n))
n
An=3n+nと考える。
更に、両辺の対数をとると, 積の形を 和の形で表すことができるから,
lim (7)=S,f(x)dx を利用して,極限値を求める。
n→∞ ni
なお, 関数10gxはx>0で連続であるから
よって, liman=α が存在するなら
811
例題
重要 例
16
長さ2の線分A
等分する。
(1) AAPBO
よ。
(2) 極限値 α =
る。
指針
lim(logx) = loga
log と lim
xα
lim (logan)=log (liman 交換可能
818
(1) 線分
よっ
(2)求
SSC
an=
解答
n
(4n)! とすると
√ (3n)!
1 (3n+1) (3n+2) (3n+n)}
n(3+)(3+)(3+)
(1) 線ケ
解答
よっ
ゆえ
an=
=
n
//{(3+/-) (3+)(3+7)
1.(d(3+1/2)(3+/-)(3+n)}
=(3+/-)(+) (+)
よって, 両辺の自然対数をとると
◄ (n")=n
110g(3+1/2)+10g(3+/2/2)+10g(3+1/72)}=171210g(3+4)
-log(3+
lim(logan)=log(3+x)dx=(3+x)'10g(3+x)dx
logan=-
n
ゆえに
11-00
=
1
(3+x)log(3+x )]-f(3+x)3+x
44
=4log4-3log3-1=10gge =log-
関数10gxはx>0で連続であるから
した
(2)c
-dx
部分積分法。
256
27e
256
liman=
lim (loga.) = log(lima.
8+U
27e
練習曲
③ 167
練習
数列 an
=
④ 166
n²
7/4 P2n (n=1,2,3, ･･････) の極限値 lima” を求めよ。
12-00
[ 東京理科大)
