例題 112 接線に関する軌跡
放物線 y=x2 上の異なる2点P (1,2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l1,
とし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P, Qが動くとき
点Rの軌跡を求めよ。
[類名城大〕 ←例題 108
&2の方程式から交点の座標 (x, y) を求めると,xとyはともに,gの式で表される。
文字 g を消去する
したがって, 方針は
そこで用いるのは
2直線が垂直←(傾きの積)=-1
185
3
18
答案 x軸に垂直な接線は考えられないから,lの傾きをm
とすると,その方程式は
y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2
x2=m(x-p)+p
これと y=x2 を連立して
整理すると x²-mx+mp-p2=0
この2次方程式が重解をもつから, 判別式をDとすると
D=(-m)2-4(mp-p2)=m²-4mp+4p²=(m-2p)2
P(p, p²)
Q(g,g'))
li
l2
10.
x
R
D=0 から (m-2p)=0
よって m=2p
したがって, l の方程式は
y=2p(x-p)+p² $73b5 y=2px-p²
(1)
同様にして,l2の方程式は
y=2qx-q²
②2
交点Rの座標 (x, y) は, 連立方程式 ① ② の解である。
①をに
おき換える。
と
yを消去して整理すると 2(p-g)x=(p+α)(カーg)
x=p+q J
2
y=2p⋅ b + q = p² = pq
==
2
pag であるから
これを①に代入して
li⊥lz から
2p2g=-1
1
よって
y=pq=-
4
また,p, q は 2次方程式 t2-2xt-
......
③ の判別式を D' とすると
D'
4
D = (-x)²-1⋅(-1) = x²+1
4
参考 左の答案は
今までに学習した
知識のみを用いて
接線の方程式を求
めているが,後で
学習する微分法を
用いるとより簡
単に求めることが
できる(第6章微
③ の解である。分法を参照)。
よって
D'> 0
逆の確認。
ゆえに、任意のxに対して実数p,q(p≠q)が存在する。
1
したがって, 求める軌跡は 直線 y=
=-4
