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第8章 ベクトル
基礎問
159 ベクトルと図形
平面上に1辺の長さがんの正方形 OABC
=
がある.この平面上に ∠AOP="
∠COP=- 57, OP=1となる点P をとり,
6'
線分AP の中点をMとする.
kで割った(でないから)
k0 だから, 2ks+t=0
1161
......①
次に,OC･=|OC||||cos_57
6
2
-k だから
一
2(sa+tp).p=-√3k
2(sat)=√3k
ks+2t=-√3k
①,②より,s=1,2,3に
247
t=-
M
OA=d, OP = b とおいて, 次の問いに答えよ。
D
よって, OC=-
2√3
-a
3
3
P
注 OP=mOA+nOC とおいて, 解答と同じようにして,m, n を求
(1) 線分 OM の長さをんを用いて表せ.
(2) OC を用いて表せ.
(3) AC と OM が平行になるときのんの値を求めよ.
精講
(1)基本になる2つのベクトル a, に対して, lal, pl, apがわ
かるので,OMをa, p で表せれば解決です (152) あるいは、
AP を求めて中線定理 (IA81) を使う手もあります。
(2) 内積がからみそう (角度の条件があるから)なのでOC=sa+tp とおい
てスタートします。
(3) AC, OM をa, p で表して, 係数の比が等しくなることを使います.
めたあと, 「OC=･･」と変形する方が少し計算がラクになります.
(3)AC=OC-OA=
A=(√3-1)ā – 2√3 kD
<ポイント
OM=1/21+1/23より,ACOM のとき
3
-1=-
3
3
√3-1
=
2
(1)OM=
a+p
2
解答
分点1
「
IOMP=117+6P=12(+246+16円)
||=k,||=1, 1.5=||||cos = 1
3
2
だから
k2+k+1
ki+k+1
OM=
4
2
~垂直だから
(2) OC=sa + tp とおくと, OC a =0 だから
(sa+tp)・a=0
45+51:07. 2k's+ht=0
..sla²+ta p=0
150
ポイント
a = 0, 60, ax のとき
ma+nbm'a+n'b (mnm'n'+0)
←m:n=m':n'
演習問題 159
O
平面上の3点A(2, a) (3<a<10), B(1, 2), C(6, 3) について,
次の問いに答えよ.
(1) 四角形ABCD が平行四辺形のとき, Dの座標をαで表せ.
(2) (1) のとき, 直線AD上の点Eで CD=CE となるものを求め、
EがADの内分点であることを示せ. ただし, E≠D とする.
(3)2つの四角形ABCD と四角形ABCEの面積比が4:3のと
き, αの値を求めよ.
Imke
