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基本 例題 156 第2次導関数と等式
(1) y=log(1+cosx)" のとき, 等式y" +2e-x=0を証明せよ。
(2) y=euxsinx に対して, y" = ay + by' となるような定数a,bの値を求めよ
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[(1) 信州大, (2) 駒澤大] 基本 155
指針 第2次導関数 y” を求めるには,まず導関数yを求める。 また, (1), (2) の等式はともに
の恒等式である。
(1) y" を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,e-xで表すには、等式 elogp=pを利用する。
(2) y', y” を求めて与式に代入し, 数値代入法を用いる。
解答
(1) y=2log(1+cosx) であるから
(1+cos x)'
1+cosx
よって
よって
y'=2･
y" ==
2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)}
+(1+cos x)² x£)aies
2
1+cosx
2(1+cosx)
(1+cosx)
また,=log(1+cosx) であるから
2
ゆえに
2e-2=2
y 1+cos x
π
2
e2
y"+2e=¾=—— 2
また, x=
39
てもこれを解いて
==
1+cos x
2sinx
1+cosx
y"=ay+by' に ①, ② を代入して
e2x
......
を代入して
+A
+
(2)y'=2e²sinx+e2xcosx=e2x(2sinx+cosx)
y"=2e²x (2 sinx+cosx)+e²x (2 cosx-sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
①
ゆえに ay+by'=ae²x sinx+be²x (2 sinx+cosx)) =`(²x)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
ež=1+cos x
2
1+cos x
③はxの恒等式であるから, x=0を代入して
3e=e" (a+26)
=0
【logMk=klogM
なお,-1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
[参考 (2) のy"=ay+by'
ように、未知の関数の導
を含む等式を微分方程式
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③ いう(詳しくは p.473 参照
4=b
③が恒等式③に
◄sin²x+cos²x=1
CHURO530
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[elogp=を利用すると
alog(1+cosx)=1+cosx
logze
REC (e²)' (2 sinx+cos x)
+ex (2 sinx+cos.x)'
2
を代入しても成り
a=-5, b=4
このとき
(③の右辺)=e2x{(-5+2・4)sinx+4cosx}= (③の左辺) 逆の確認。
したがって a=-5, 6=4
