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な直線が,右の図のように異なる2点A, B で
交わっている。 このとき, 原点を0として
| △OAB の面積Sの最大値とそのときの点 A,
Bの座標を求めよ。
A
J
B
√3
v3
0
考え方 文章題では何を変数にするかがポイントである。なるべく計算がらくにな
るように決めるとよい。 本間では,△OAB y 軸に関して対称であるから,
点Bのx座標を x とすると, 2点A, B の座標がx で表せる。 あとはS
をxの式で表し,変数xのとりうる値の範囲に注意して, Sの増減を調べ
る。
解答 2点A,Bはy軸に関して対称であるから
A (-x, 3-x2), B(x, 3-x2)
ただし0<x<3
1
とおける。
このとき S=1/2x(3-x2)=-x+3x
2
S'=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)
①の範囲において, S' = 0 となるのは,
x 0
...
1
√3
S'
+ 0
x=1のときであり, Sの増減表は、右のよう
になる。
S
K
2
よって, Sはx=1で最大値2をとる。
このとき, A, B の座標は (-1,2), (1,2)
放物線y=-x2+12とx軸で囲まれた図形に内接する長方形
□ 練習 239
ABCD の面積S の最大値を求めよ。 ただし, 2点A, B はx軸上にある
ものとする。
第6章 微分法と積分法
...
12
x
0
S'
+
0
-
極大
S
32
2√3
増減
最大
よって, Sはx=2で最大値32をとる。
は
Sが最大になるときの長方形の頂点の座標
(-2, 0), (2, 0), (2, 8), (-2, 8)
BAS
240 1 右の図のように
点Aをとる。
△OAH において,
三平方の定理により
AH=√OA2-OH
=√32-x2
3
H
0+1=√√91x2
A
よって V=AH2×2OH
=π(9-x2) x2x
=-2π(x3-9x)
OHの長さは球の半径より小さいから,xのと
りうる値の範囲は 0<x<3 ...... ①
(2) V'=-2π(3x2-9)=-6z(x-3)
=-6z(x+√3)(x-√3)
①の範囲において, V'=0 となるのは,
x=√3 のときであり, Vの増減表は次のよう
になる。
x
0
√3
V'
+
0
極大
[V
12√3
...
3
[1]
■ 練習 240
右の図のように, 点0を中心とする半
径3の球に直円柱が内接している。 この直円柱の
体積をVとするとき, 次の問いに答えよ。
(1)点0から直円柱の底面に引いた垂線 OH の長
さをxとするとき, Vをxの式で表せ。
3
また, xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)Vの最大値を求めよ。
H
よって, Vはx=√3 で最大値12/3をとる
241 f'(x) =3x2-27a2=3(x+3a)(x-3)
f'(x) =0 とすると x=±3a
またf(0) = 0, f(3) =27-812
(1) 0<a<1であるから 0<3a<3
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
x 0
f'(x)
...
3a
0
+
極小
f(x) 0
3
727-81a2
-54a3
