nを自然数とするとき, 不等式 2"≤ 2 C ≦4" が成り立つことを証明せよ。
n
解説
2"≦2n Cn≦An
2" ≤ 2 C ≤4" ······① とする。
[1] n=1のとき
2C1=2であるから 212C141
よって、 ①は成り立つ。
[2]n=kのとき①が成り立つと仮定すると
2k2k Cak ..②
n=k+1のときを考えると,②から
exr
2(k+1)Ck+12k+1
{2(k+1)}!
(k+1)!(k+1)!
2k+1
(k+1)!= (k+1)k- (k-1). ·2·1
(2k+2(2k+1) (2k)!
(k+1)(k+1) k!k!
-2k+1
2k
2(kur
2(2k+1)
Jatt
k+1
12kCk2k+1
2(2k+1)
M
・2k2k+1
k+1
=2k+1/
2k+1
k+1
+1-1) =2
2k+1..
k
>0
k+1
4k+120k+1) Ck+1
=4.4k-
2(2k+1)
k+1
*2k Ck ≥4.2k Ck
2(2k+1)
k+1
2kCk
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
2kCk>0
k+1 24 Ck = k +124 Ck >0
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。
={4-20
2(2k+1)
2
2kCk
