定数
は以
基本 例題125 2次方程式の解と数の大小 (1)
195
00000
2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数 αの値の範囲を求めよ。
[類 東北大 ]
基本 123 124
重要 127
指針 p.192, 194 で学習した放物線とx軸の共有点の位置の関係は, そのまま 2次方程式の解
と数の大小の問題に適用することができる。
すなわち,f(x)=x2-2(a+1)x+3a として
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
放物線y=f(x) がx軸の1≦x≦3の部分と、異なる2点で交わる
したがって D>0, -1<軸<3, f(-10(3)≧0で解決。
解答
3章
CHART 2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D,軸,f(k) に着目
13
3 2次不等式
この方程式の判別式をDとし,f(x)=x2-2(a+1)x+3a とす
る。方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は,y=f(x) のグラフがx軸の-1≦x≦3
の部分と、異なる2点で交わることである。
したがって,次の [1]~[4] が同時に成り立つ。
C
-1<軸 <3
ya
[1] D> 0
[2] -1<軸<3
[3]) f(-1)≥0
D
[4] f(3)≥0-(
[1] = {-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-2/21)2+2/27
よって, D>0は常に成り立つ。
......
(*)
[2] 軸は直線x=α+1 で, 軸について
-1<α+1<3 すなわち -2<a<2:
[3] f(-1)≧0から (−1)-2(a+1)・(-1)+3a≧0
①
3
ゆえに 5a+30 すなわち a≧-
[4] f(3) 0 から
32-2 (a+1) ・3+3a≧0
ゆえに -3a+3≧0
すなわち a≦1
33
①,②③の共通範囲を求めて
Oa+1
3 X
-3
-2
3
1 2
a
5
-
-≤a≤1
注意 [1]の(*)のように,αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
