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重要 例題 166 正四面体と種々の計量
000
辺の長さがαの正四面体 ABCD がある。 次の値をそれぞれaの式で表せ。
A から BCD に下ろした垂線 AH の長さ
(2) 正四面体 ABCDの体積
(3)(1)のHに対して, Hから △ABCに下ろした垂線の長さ
指針▷ 空間図形の計量では,直線と平面の垂直 (数学A) の性質を使うことがある。
直線んが, 平面α上のすべての直線に垂直であるとき, 直線は
αに垂直であるといい, hα と書く。このとき, hを平面α
の垂線という。
基本 165
a
m
また、平面の垂線については、次の性質が重要である。 なお,こ
の性質は(2)の別解で利用する。
平面α上の交わる2直線をl, m とすると
解答
hil him ならば h⊥α
すなわち,h がα上の交わる 2直線 l m に垂直ならばんはα上のすべての直線と垂直
である。
これらのことを踏まえて、以下のように考える。
(1) 直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから
AHBH, AHICH, AHDH
ここで, 直角三角形ABH に注目する (立体から平面図形を取り出す) と
AH=√AB-BH
よって まずBH を求める。
(2)四面体の体積= 1/2×(底面積)×(高さ)に従い 11・ABCD・AH と計算。
(3) △ABC を底面とする四面体 HABCの高さとして求める。
(1) AH⊥ABCD であるから, △ABH, ACH, ADH は
いずれも∠H=90° の直角三角形であり
ゆえに
AB=AC=AD, AH は共通
△ABH=△ACH=△ADH
よって, BH=CH=DHが成り立つから, Hは ABCD の外
接円の中心であり, BH は ABCD の外接円の半径である。
ゆえに, BCD において, 正弦定理により
a
=2BH
sin 60°
よって
BH=
a
a
2sin 60°
√3
したがって
1軒の炒
AH=√AB2-BH
=
(
a
3
=
a
3
B
C
D
Fraz
sch 60
