(2)でなぜ5-2aとなるのか、教えてください。(5+2aだと思ってました)

考え 1 次の問に答えよ。 (1) 4桁の正の整数abcd が 11 の倍数ならば, a-b+c-dも11の倍数となることを示せ。 (2) 4桁の正の整数2a3aが11で割り切れるとき,この整数を求めよ。 (1) 4桁の正の整数abcd を N とおくと N = 1000α+ 1006+10c+d Nが11の倍数のとき, N = 11k (kは正の整数) とおける。 一方 N = (1001α+996+11c) - (a-b+c-d) =11(91a +96+c) - (a-b+c-d) と変形できるから a-b+c-d=11(91a+96+c)-N = 11(91a +96+c-k) 91a +96+c-kは整数であるから, a-b+c-d は 11 の倍数である。 (2)2a3aは4桁の正の整数であるから, αは0以上9以下の整数である。 よって 0 ≤a ≤ 9 ① また, 2a3aは11の倍数であるから, (1)の結果より Nをある整数とa-b+c-a の差の形に変形する。 | N = 11k を代入する。 a, b, c, k は整数 3 (1) 4 4 ) よっ ゆう (2) 2-a+3-a = 5-2a は11の倍数である。 ここで, ① より よって 5-2α=-11,0 -13 ≦ 5-24 5 (ア) 5-2a=-11 のとき a=8 このとき4桁の数は 2838 (イ) 5-2a=0のとき a= となり、不適。 2 (ア)(イ)より, 求める整数は 2838 ①を利用して, 5-2aの値の とり得る範囲を絞り込む。

画像3枚目のように考えたのですが、答えが違いました。なぜこのやり方ではダメなのか教えてください。

364 基本 例 21 組分けの問題 (1) 重複順列 6枚のカード1,2,3,4,5,6 がある。 (1) 6枚のカードを組Aと組Bに分ける方法は何通りあるか。 少なくとも1枚は入るものとする。 (2) 6枚のカードを2組に分ける方法は何通りあるか。 00000 ただし、 各細に (3) 6枚のカードを区別できない3個の箱に分けるとき, カード1,2を別々の 箱に入れる方法は何通りあるか。 ただし, 空の箱はないものとする。 指針 (1) 6枚のカードおのおのの分け方は,A,Bの2通り。 重複順列 で 2通り ただし、どちらの組にも1枚は入れるから,全部を AまたはBに入れる場合を除くために -2 (2) (1) で, A, B の区別をなくすために ÷2 TAB ↑ TAOB or or 31ACOB or TACB 5 TACOB ズーム UP 前ページ り問題 いるが, (3)3個の箱をA, B, Cとし, 問題の条件を表に示すと, 右のようになる。 よって,次のように計算する。 (3,4,5,6をA, B, C に分ける) 箱 A BC カード 1 2 3,4,5,6から少なくとも1枚 -(Cが空箱になる=3,4,5,6をAとBのみに入れる) CHART 組分けの問題0個の組と組の区別の有無に注意 (UE) se==XE (1) 6枚のカードを, A, B2 つの組のどちらかに入れる方 A,Bの2個から6個取 解答 法は(税 -SE このうち,A,Bの一方だけに入れる方法は よって, 組Aと組Bに分ける方法は 2°=64(通り) る重複順列の総数。 2通り 64-262 (通り) 1 (2組の分け方)×2! (2) (1) A, B の区別をなくして =(A,B2組の分け方) 62÷2=31 (通り) (3)カード 1,カード2が入る箱を, それぞれ A,Bとし, (3) 問題文に「区別できな 残りの箱をCとする。 A,B,Cの3個の箱のどれかにカード3, 4, 5, 6を入 れる方法は 3通り このうち,Cには1枚も入れない方法は2通り したがって 3'2'=81-16=65(通り) い」とあっても、カード 1が入る箱, カード2が 入る, 残りの箱、と区 別できるようになる。 Cが空となる入れ方は、 A,Bの2個から4個取 る重複順列の総数と考え て 2通り 7人を2つの部屋

数IIの微分の問題です なぜa＝4とだして、これを使って場合分けをするのでしょうか？

要 例題 192 区間全体が動く場合の最大・最小 00000 (x)=x10x2+17x +44 とする。区間x+3 における f(x)の 最大値を表す関数g(α)を, αの値の範囲によって求めよ。 CHART & THINKING 最大最小 グラフ利用 極値と端の値に注目 αの値が変わると 区間 a≦x≦a+3 が動くから, αの値によって場合分けする。 場合分けの境目はどこになるだろうか? 基本190 y=f(x) のグラフをかき, 幅3の区間 a≦x≦a+3 を左側から移動させながら考えよう。 ・極大値をとるxの値が区間内にあるか、区間の両端の値(4) f(u+3)のどちらが大 いかに着目すればよい。f(α)=f(a+3) となるαの値も境目となることに注意。 解答 f(x)=3x²-2x+17=(x-1)(3x-17) 17 x *** 1 3 f'(x) = 0 とすると 17 x=1. 3 f'(x) + 0- 0 + 増減表から,y=f(x) のグラフは右下のようになる。 f(x) 極大 極小 [1] a+3<1 すなわち α <-2 のとき g(a)=f(a+3)=(a+3)3-10(a+3)2+17(a+3)+44 =α-α-16a+32 {2} a+3≧1 かつα <1 すなわち −2≦α <1 のとき g(a)=f(1)=52 a≧1 のとき, f(a)=f(a+3) とすると a3-10a2+17a+44-a³-a²-16a+32 整理すると 94²-33a-12=0 よって (3a+1) (α-4)=0 [3] 1≦a<4 のとき [4] 4≦a のとき a≧1 から a=4 g(a)=f(a)=α-10² +17a +44 g(a)=f(a+3)=α-α-16a+32 {1} y+ y=f(x) Linf. a+3 ya y=f(x) 52 44 17 3 [2] Ay y=f(x); [3] y y=f(x) [4] y=f(x); 52 0 14+317 x 3 a a+3 a a4 のとき,最大値を異なるxの値でとるが,xの値には言及していないの 4≦a として [4] に含めた。

この問題についてなのですが、解答解説に合同式を用いた証明しか載っていなくて、合同式を使わないで証明できる方法があれば、記述の仕方と併せて教えて欲しいです。（私の学校では合同式について扱っていないです。） お願いします🙇‍♀️

(3)自然数の列{az}を言 41=5,an+1=94+ a +1 (n = 1, 2, 3,･･･) 4 によって定める.この列の各項 αを4で割ったときの余りを求めよ.

そもそもs2m、s2m-1に分けて和を求める理由が分かりません。教えて頂きたいです。

重要 例題 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める n 一般項がαn=(-1)+1n2 で与えられる数列{an} に対して, Sn=ak とする。 KI) azk-1+a2k (k=1,2,3, ......) を用いて表せ。 ((2) Sn=(n=1, 2, 3, 指針 ・・・・) と表される。 k=1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。 次のように項を2つずつ区切ってみると Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+...... (2)+( =b1 =b2 =bs 上のように数列{bn} を定めると, bk=a2k-1+azk (kは自然数) である。 よって, m を自然数とすると [1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSm=2bi=(azn-1+aan)として求め られる。 1 [2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam=S2m-1+α2m より S2m-1=Sam-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) A2k-1 1+a2k=(-1)2(2k-1)+(-1)2k+1(2k) 2 =(2k-1)-(2k)²=1-4k 答 (2) [1] n=2mmは自然数)のとき m S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k) k=1 基本 n m= m k=1 m-4.1m(m+1)=-2m²-m 1 であるから -2(2)²=-n(n+1) == [2] n=2m-1 (mは自然数) のとき azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m _n+1 m= m-2 であるから (−1)数=1, (−1) 奇数=-1 ={(2k-1)+2k} x{(2k-1)-2k} Szm=(a1+a2) +(a3+α)+.. +(a2m-1+a2m) Szm=-2m²-mに n =177 を代入して,n m= 2 の式に直す。 S2m=S2m-1+a2m を利用する。 451 1 章 3種々の数列 Sn=2(n+1)_n+1=1/12(n+1)(n+1)-1 2 =(+1) (−1)"+1 [1] [2] から Sn= -n(n+1) n(n+1)* =(-1)+..+8+8+1 S2m-1=2m²-m n o 式に直す。 THAN (*) [1], [2] の Sn の式は 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。

2番の問題です。 解説に点OはA3Mを2:1に内分する点とあるのですが それはなぜですか？

た。原子核の てみます。 六角柱は単位 入試攻略 への必須問題 亜鉛 Zn の結晶格子は,右図のような六方最密構造であ る。底面の正六角形の一辺を α, 正六角柱の高さを c, 亜 鈴原子を半径の剛体球とし、 最近接の原子どうしは互い に接触しているとする。 次の問いに答えよ。 (1) αをrで表せ。 (2)crで表せ。 無理数はそのままでよい。 a- 四面体 AiA2A3B1 は, 1辺が2r の正 四面体であり,この高さ (下図のOB1) を んとすると,c2h となります。 解説(1) 底面は一辺αの正六角形です。 170 DotS と X 単位格子のB方はどち 2r らしい 2r 見た図 A3 , a=2r AL 造 O 2r M 密は 内部 (2) A イオンとA2 B- -A- A層から3つの球を選び, それらの くぼみにのっているB層の球を選びま す。 それらの中心を A1, A2, A3, B1 とすると, の単位 AL 似ています A2 M B₁ 入 (A1 A3 A2 24 CsC! 上図の点は底面の正三角形の高さ A3M を 2:1に内分する点です。 よって, h = √(2r)² - (√3 r × 27 ) ² =2√6y 2√ておざ 3 塩化ナトリウ c=2h なので,c= 4√6 3 3 答え (1) a=2r (2)c= 4√√6 r 3 as

2番の問題で、充填率を求めるのに最後に×100がつかない理由はなんですか？ 教えてください🙏🏻

「入試攻略 への必須問題 ある金属の結晶の単位格子は,右図のような面心立方格 子である。原子は剛体球とし、 最近接の原子は互いに接触 しているとする。 AAA # 問1 単位格子内の原子数はいくつか。 問2 原子半径をとすると単位格子の1辺の長さはどのように表せるか。 問3 結晶の充填率を求めよ。 円周率や無理数はそのままでよい。 問4 この結晶の密度をd [g/cm²〕, 単位格子の体積をV[cm], 金属の 原子量を M とすると, アボガドロ定数 NA [/mol] はどのように表すこ とができるか。 この高さく 解説 1 問1 個分×8+ 8 1/2個分 A = ×4 ... ② 頂点 面の中心 ①式を②式に代入すると, =4個 = X4 問2 単位格子の1辺の長さをαとす 内 ると, 515√√a²+a²=4r v2a=4r 千部品の共産六 π 6 3.14 として計算する と,p=0.74 r よって、 ･･･①を選びま a 4 す。 それらの中心を すなわち, 結晶の体積の74% を金属 原子が占めています。 CONFUC 4 よって, a=- √2r=2√2× 問4 密度 〔g/cm²]= 単位格子の質量[g] 単位格子の体積 [cm] 問3 充填率は単位格子の体積のうち、 原子で占有されている部分の体積の割 なので、部 原子1個の質量 より 合です。 充填率をすると, EM ×4個 NA d= 問1より 半径の球4個分の体積 p= 4M 単位格子の体積 よって, NA= dv 4 a³ 答え 問1 4個 2 問2 2√2 4M 問3 π 問4 NA = 6 dV 12 金属結晶 101

②です。 全くわかりません💧 解説お願いします。

[ 問2] 右の図2は、 図1におい 図2 A350X9 て、∠PAB= ∠PBA とな る場合を表している。 次の①、②に答えよ。」「い に当ては E ① △AEP=ABEP であ B ることを証明せよ。 2つの A DOA BAR (cm) 「3点E、B、Cが同一直線上にある場合を考える。 AE: AD=3:5のとき、 △PQB の面積は、 四角形 BCDP の面積の何倍か求めよ。 C

(2)で∑の上の部分がnになる理由がよく分かりません。2n-1項までじゃないんですか？

446 基本 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列 00000 Q (1) 一般項 α7 を求めよ。 X (2) 初項から第n項までの和 SnがSn=2n²-nとなる数列{an}について (2) 和a1+a3+as+....+an-1 を求めよ。 P.439 基本事項 4 基本48、 指針 切ら第n項までの和 Sm と一般関係 n2のと ひろい a 105 Sn=a1+a2+ - Sn-1=a1+a2- ·+an-1+an 19178k-7 Sn-Sn-1= 和 S, がn のせで表された数列については,この公式を利用して一般項an を求める。 (第項)をんの式で表す (2) 数列の和 ま 項,第 2項,第1項 +8 a1, a3, a5, 第項 a2k-1 であるから, an に n=2k-1 を代入して第ん項の式を求める。 なお,数列 (1,3,5,..., 2n-1 のように, 数列{az}からいくつかの項を取り除 列{an} の部分数列という。 いて 20 (1) ≧2のと 解答 また an ヱ(8K-7) K= αS=2.1-1=1 1.50 2(n-1)2-n-1}+8Sn=2n2-nであるから 3+81 Sn-1=2(n-1)-(n-1) ここで,① において n=1 とすると α1=4・1-3=1 よって, n=1のときにも ① は成り立つ。 したがって an=4n-3 + (2)(1) より,a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから n n) +лe a+a+as+....+a2n-1=A2k-1=2(8k-7) k=14k=1 初項は特別扱い Lanはn≧1で1つの式に 表される。 |a2k-1 はan=4n-3にお いてnに2k-1を代入。 =8/12n(n+1)-72k, 21の公式を利用。 (n(4n-3) 1+01- で に [

(2)の問題なんですけど、解答が理解できません。 写真のような解き方ではだめなのですか？ 教えて欲しいです

500 数列の和と一般項, 部分数列 P.494 基本事項4) 基本 127 基本 例題 105 (2) (1) 一般項 αn を求めよ。 初項から第n項までの和S が S = 2n-nとなる数列{a} について 00000 和a+a3+α+......+a2n-1 を求めよ。 指針 (1) 初項から第n項までの和S と一般項an の関係は S=a+az+......+an-s+an n≧2のとき -)Sn-1=a1+a2+…+an-1 分数の数列 基本例 次の数列 n=1のとき Sn-Sn-1= a=S₁ an ゆえに 数列の和 Sm がnの式で表された数列については, この公式を利用して一般項 αを求め る。 ......... (2) 数列の和→ まず一般項(第五項) をんの式で表す 指針 第 ない 差の 2k a3. ....... a2k-1 第1項 第2項 第3項,······, 第k項 an n=2k-1 を代入して第ん項の式を よう → 求める。 この 解答 a1, a5. なお, 数列 a1, A3, A5, ......, A2n-1 のように, 数列{az}からいくつかの項を取り除HAR できる数列を,{a} の部分数列という。 (1)n≧2のとき また an=S-Sm-s=(2n2-n)-{2(n-1)^-(n-1)} =4n-3 ...... ① a1=St=2.12-1=1 ここで, ① において n=1 とすると 4S-2n²-n Cab Sr-1=2(n-1)-(n-1) 初項は特別扱い 分数の 解答 この数列 α=4・1-3=1 よって, n=1のときにも①は成り立つ。 したがって an=4n-3 ann≧1で1つの式に される。 求める利 S (2) (1)より, a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから azk-1 は α=4n-3におい as+a+as+... +α2n-1= = =a2k-1=(8k-7) k=1 てに2k-1を代入。 k=1 =8.11n(n+1)-7n=n(4n-3) k.1の公式を利用。 受け 検 n≧1でan=S-S となる場合 例題 (1) のように, a,=S,-Sm-1でn=1とした値とαが一致するのは、S” の式でn=0 とした とき So=0 すなわちの整式 S の定数項が 0 となる場合である。 もし、S=2n-n+1(定数) 項が0でない)ならば, α = S1=2, an=Sn-Sm-1=4n-3 (n≧2) となり 4n-3n=1とは 値と αが一致しない。 このとき、最後の答えは 「α=2, n≧2 のとき α=4n-3」 と表す。 一習初項から第n項までの和 S が次のように表される数列{az} について 一般項 15 am と和α+αs+α7++α37-2 をそれぞれ求めよ。 (1) Sn=3n²+5n (2) S=3m²+4n+2 次の 練習 106