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OS
00000
基本例題 47 空間のベクトルの平行
4点A(1, 0, -3),B(-1, 2,2), D(2,3,-1), E(6, a, b) がある。
(1) AB//DE であるとき, a,bの値を求めよ。 また,このとき AB:DE=
(2) 四角形 ABCDが平行四辺形であるとき, 点Cの座標を求めよ。
基本7,8
FOSF025
指針▷空間においても,1つの平面上で考えるときは,平面図形とベクトルの関係をそのまま用
いることができる。
(1) AB/DE⇔ DÉ=kAB となる実数がある (AB≠0, DE ¥0)
(2) 四角形 ABCD が平行四辺形であるための条件は
AB=DC (AB0, DC ¥0) AB=CDではない!
計算の際,次のことを利用する。 [平面の場合と同様。 空間ベクトルでは成分が加わる]
2点A(a1,a2,a3),B(b1, 62,63) について AB=(bュ-a1, bz-az, bs-as)
解答
(1) AB//DE であるから, DE=Aとなる実数んがある。
AB=(-2, 2,5), DE=(4,4-3, 6+1) であるから
(4, a-3, b+1)=k(-2, 2, 5) ...... (*) -8
よって 4=-2k, a-3=2k, 6+1=5k
ゆえに h=-2a=-1,6=-11
また, |DÉ|=|-2AB|=2|AB|から
(2) 点Cの座標を(x, y, z) とする。
四角形 ABCD は平行四辺形であるから
DC=(x-2, y-3, z+1) であるから
AB: DE=1:2
(-2, 2, 5)=(x-2, y-3, z+1)
-2=x-2, 2=y-3,5=z+1
AB=DC
よって
ゆえに
x=0, y=5, z=4
よって
C(0, 5, 4)
別解 四角形 ABCD は平行四辺形であるからAC=AB+AD
よって
AC=(-2, 2,5)+(1,3,2)=(-1, 5, 7)
ゆえに, 原点を0とすると
OC=OA+AC=(1, 0, -3)+(-1, 5, 7)=(0, 5,4)
よってC(0, 5,4)
4
firbt
AB=kDE として考えても
よいが, その場合, kDE は
(4k, ka-3k, kb+k)
となり、左の解答よりも計
算が面倒になる。
Foll
B
BO ARE
(1) a=(2, -3x, 8), 6= (3x, -6, 4y-2) とする。と
1-21 +0
5
[参考] ベクトルについて, 例えば, (*) を a-3=k 2 のように成分を縦に書く記述法もある。
A
B
\6+1/
縦に書くと,x,y,zの各成分が同じ高さになり見やすい, という利点がある。
(-AU-CAD-
DS
D
