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afe+
*+
√5
√5 +1
x+x
①よりは
= (8₁²
=324
のとき、次の式の値を求めよ。
√5-1
√5 +1
(x + 7/12) ²
=100-
+
L
(√5 + 1)(√5 - 1)
324円
5×4×3×2×1
AN (8+18+ S+I+NS
A
D
④4④ 先生と生徒2人 (メタ君, セコイアさん), 3人の会話を読みながら、
次のアーチには適当な数字を,
には
適当な数式を解答欄に答えよ。 ただし, ア, イ, ..., チの一つ一つ
には数字が一つずつ対応して入り、 同じカタカナ, アルファベット
の枠には同じ数字が入る。
(0)
メタ : 高校数学の内容って、難しいけど奥深いよね。 宿題で出された
α3 +63+c3-3abcの因数分解は大変だったけど, 面白かったな。
セコ:その問題, 知らないわ...
メタ : α3+b3=(a+b)アイ ab(a+b) を利用すればいいんだよ。
α3 +63+c3-3abc
ab+00²
=(a+b)イ ab(a+b)+c3-3abc
= (a+b+c){(a+b)_(a+b)c+c²}-ab(a+b+c)
セコ: まずαの板を塗る塗り方は..
板の塗り方を
先生らしい気づきですね。 高校数学の式変形においては、
「つじつま合わせ」 の作業はよく用いられます。
メタ:あっ、先生。 聞いていたのですか??
先生:僕は数学の話題が聞こえてくると、職員室で仕事中であっても
駆けつけますよ。まぁ、そんなことより。 僕から問題を出そう。
1-
A と因数分解できるよ。
セコ:一見難しそうに見えるけど, 式の前後で等号が成立するように
つじつまを合わせることによって答えが導けるのね!!
(1) a² + b² +c²
の値を求めよ。
セコ: 待って。 私の結果と一致しないわ。
a+b+c=1,ab+bc+ca=-2abc-1 であるとき、
(2) a²+b+c²
(3) a+b+c
C
/B
2
セコ (1) は、a2+b²+c^²=(a+b+cカ (ab+bc+ca) と変形
(2) は、最初に導いた
となるわ。
できるから,²+62+c²=キ
a+b+c3-3abc = A を用いると、a+b+c-
なるわね。 (3) は ...... 分からないわ。
メタ:今日のポイント 「つじつま合わせ」がヒントになるはず......
Z3, a² + b² +c² = (a² + b ² + c²)_ (a²b² + b²c² +c²a²)
だから, 答えはサジだ!!
先生: その通りです。 では, もう一つ問題を出そう。
[問2
になったんだけど......
DS
1
x+x+x3+x2 + x +1 を因数分解せよ。
ヒントを与えます。 x1 の因数分解をやってごらん。
メタ : -1=(x+1)(x_1)=B と因数分解できるね。
2.
€
L
2
byの
メタ : そうか, x-1= B だから, (*) を利用すると,
「あるね、
1=(x−1)(x+x+1)=(x+1)(x-1)(x+x+1)
メタ:大丈夫だよ。
++1=2+夕+1一週
と因数分解できるので, 同じ結果になるよ。
セコ: メタくん、 凄いね! でも先生, x
の答えにどう結びつくのですか??
先生: 実は、自然数nに対しては,
x"_1=(x-1)(x"-1+x"-2+ …..... + x + 1)... (*) という
等式が成り立つのです。 試しにn= 3,4のときを考えてごらん。
セコ: 本当だ! 3-1=(x-1)(x2+x+1) は, 等式 (*) に n=3 を代入
したものだし、x1=(x+1)(x−1)=(x-1)(x3+x2+x+1)
は, 等式 (*) に n=4 を代入したものになっています!!
y
Z Z
14
X
x+x+x3+x2 + x + 1 = | D と因数分解できるんだ!
先生 素晴らしい!! 問2のポイントになった等式(*) も, 両辺のつじ
つまを合わせながら同類項整理をすることで、証明できます。
メタセコ : やっぱり, 高校数学って難しい〜
るね。
[2]
1の因数分解の結果が
[素
チ
以上で問題は終
