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重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用
kを自然数とする。 2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは
2であることを示せ。
解答
kを3で割った商を」 とすると, は 3g, 3g+1, 3g+2
のいずれかで表される。 ･･････ A
指針 2=7l+4 (は自然数) とおいてもうまくいかない。 ここでは,
んが 3g, 3g+1, 3q +2
3で割った余りが 0 12 (
(gはkを3で割ったときの商) のいずれかで表されることに注目し,k=3g+2 の場合だ
け2を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。
例えば,k=3gのときは, 2=23" = 8°であり, 8°= (7+1)" として 二項定理を利用すると
2を7で割ったときの余りを求めることができる。
[1] k=3g のとき, g≧1 であるから
2'=23°=(2°)°=8°=(7+1)*
= C79+,C,79-1+
+9C9-17+Cg
=7₂C79-1+ C₁79-2 ++C+1
よって2を7で割った余りは1である。
[2] k=3g+1 のとき, g≧0であり
q = 0 すなわち k=1のとき
q≧1のとき 2=239+1=2・237=2・8°=2(7+1)。
2²=2=7.0+2
=7.2(C79-1+,C179-2++qCq-1)+2(*)
よって2を7で割った余りは2である。
[3] k=3g+2のとき, g≧0であり
q=0 すなわちん=2のとき
q≧1のとき 2=239+2=22・23=4・8°=4(7+1)。
2"=2"=4=7・0+4
=7-4(C₂79¹+C₁79-²++gCq-1)+4
[類 千葉大 0 (
別解 合同式の利用。
A までは同じ。 8-1=7.1 であるから
3で割った余りは0か1か
2である。
Ak 3, 6, 9, ......
<二項定理
よって2を7で割った余りは4である。
[1]~[3] から, 2を7で割った余りが4であるのは, k=3g+2のときだけである。
したがって, 2 を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。
重要 6
は整数で,
2= 7× (整数)+1の形。
k=1, 4,7,
◆二項定理を適用する式の指
数は自然数でなければなら
ないから, q=0 と g≧1 で
分けて考える。 (*)は[1]
の式を利用して導いている。
k=2, 5, 8, ······
[1] の式を利用。
合同式については, 改訂版チャート式基礎からの数学Ⅰ+Ap.492 ~ 参照。
8≡1(mod 7)
[1] k=3g (g≧1) のとき
2F=239=8°=19≡1(mod 7)
[2] k=3g+1(g≧0) のとき g=0 の場合 2=2=7・0+2
2k=239+1=8°•2=19.2=2
1の場合
[3] k=3g+2(g≧0) のとき q=0 の場合 2″=4=7・0+4
2=239+2=89・2²=1°・4=4
g≧1の場合
以上から2を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である
の整数で+1が3で割り切れるものト
自然数nに対し
a b (mod m) のとき
a=b" (mod m)
