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重要 例題 18 等比数列と対数
00000
|初項が3, 公比が2の等比数列を {a} とする。 ただし, 10g102=0.3010,
10g103=0.4771 とする。
さ
(1) 10° <a<10 を満たすnの値の範囲を求めよ。
(2)初項から第n項までの和が30000 を超える最小のnの値を求めよ。
基本11.13
指針等比数列において, 項の値が飛躍的に大きくなったり,小さくなったりして処理に
解答
るときには,対数(数学II)を用いて,項や和を考察するとよい。
(1) 10°<a<105 の各辺の 常用対数 (底が10の対数) をとる。
(2)(初項から第n項までの和) > 30000 として 常用対数を利用する。
(1)初項が3,公比が2の等比数列であるから
an=3.2n-1
10° <a<10°から 103<3・2"-1<105p
各辺の常用対数をとる{nd
10g1010° 10g1032"-1 <10g10105
3<log103+(n-1)log102<5)=S. "S="+"S=
|an=arn-1
|10g10103310g1010=3,
log 103.27-1
=10g103+10g1027-1
10g102_{1} = logo3+(n-1)log2
5-0.4771¿=1+mds-
よって
ゆえに
1+
3-10103
log102
5-10g103.
< n < 1+
よって
1+
3-0.4771
0.3010
<n<1+
すなわち 9.38･･････ <n<16.02......
(
ed:
nは自然数であるから 10≦x≦16
0.3010 1-(1-14)
(2) 数列{an} の初項から第n項までの和は
|log1010510g1010= 5
③
③
3(2n-1)
=3(2-1)
2-1
3(2-1)>30000 とすると 2"-1>104
①
ここで, 2">104について両辺の常用対数をとると
nlog10 2>4
S=(S)◄Sn=
‚= a(r”−1)
r-1
|10000=10
21=1024であるから
213-1024-8=8192
よって n>
4
log102 0.3010
= 13.2......
12.9.2¹4-1024-16=1638
(bo) このことから,①を
ゆえに,n≧14のとき2" > 10 が成り立ち, 214 は偶数で
あるから 214 > 104 +1 ゆえに 214-1>104
bon
2"-1 は単調に増加する (*) から, ①を満たす最小のn
の値は
n=14
すんの値を調べても
(*) 21が 「単調に
加する」とは,n の
大きくなると2"-10
も大きくなるという
