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花子さんの住んでいる町内で毎年行われているクリスマス会では、参加者全員にスナック菓子を1
袋ずつ配ることになっている。 今年は、花子さんがスナック菓子を買うことになり、1年前のクリス
マス会を知っている人に話を聞いた。
1年前は、 参加者は30人で, スナック菓子は, 3袋入りの箱と7袋入りの箱の2種類が売られていた。
3袋入りを箱 7袋入りを箱買うと30人全員に1袋ずつ残さず配ることができたという。ただし,
a b はともに0以上の整数とする。 このことから
3a+76=アイ ...... ①
が成り立ち、①を満たす a, bの組(a,b) は, (a,b)= ウエ
組だけ存在する。
(1) 花子さんは,参加者が何人であれば、3袋入りと7袋入りの箱をうまく組み合わせて買うことで
スナック菓子を参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができるかに興味をもった。 参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない場合について考えよう。
3袋入り x 7袋入りを箱買うとする。 ただし,x,yはともに0以上の整数とする。
(i)yが3の倍数のとき、y=3 (は0以上の整数)と表すと
3x+7y=
(x+51)
であり, 3x+7yと表される数は
以上の3の倍数すべてである。
(ii)yを3で割った余りが1のとき, 31+1 (1は0以上の整数)と表すと
3x+7y=サ (x+シ 1
__ス) +セ
(ただし、
>セ
であり, 3x+7y と表される数は3で割った余りがソである整数であり,そのうち最小のも
のはタである。
()yを3で割った余りが2のとき, (i), (ii)と同様に考えると, 3x+7y と表される数は3で割っ
た余りがチである整数であり、そのうち最小のものはツテである。
(i)~(ii)より, 3x+7y (x, y はともに0以上の整数)と表されない自然数は全部で
ト 個ある。
すなわち, 3袋入りと7袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても、参加者全員に1
袋ずつ残さず配ることができない参加人数は全部でト通りある。
(2) 今年は別のスナック菓子を買うことにした。 そのスナック菓子は2袋入りの箱5袋入りの箱の
2種類が売られており、中身のパッケージのデザインも異なっていたため、クリスマス会を盛り上
げるため, 2袋入り 5袋入りのどちらも1箱以上買うことになった。
このとき2袋入りと5袋入りの箱をどのような組み合わせで買ったとしても, スナック菓子を
参加者全員に1袋ずつ残さず配ることができない最大の参加人数はナニ人である。 (配点20)
公式解法集 48
OSTO
難易度★★★
SELECT
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90 60
目標解答時間 15分
オ ). ( カ
の2
