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392 第6章 微分法
例題 204
最大・最小の応用(3) 家
考え方 区間の変化を考えて場合分けをする。
このとき 区間の幅はつねに2であることに注意する
a≦x≦a+2 において,関数 f(x)=x4x の最大値を求めよ。
****
例題20
2/3
解答
f(x)=x-4x より
f'(x) =3x-4
x
3
2√3
3
f'(x) = 0 とすると,
f'(x)
+
+
0
x=2√3
3
f(x)
163
f(x)の増減表は右のようになる。
9
0
極大
極小
16/3
f(
最小値が
考え方 グラ
解答
f(x
f'
「練習
204]
****
(a)=f(a+2) とおくと
a3-4a=(a+2)3-4(a+2)
6a2+12a=0 より
a=-2, 0
| | 最大
2v3
2√3
(i) a +2≦!
つまり
x
3
2/3
2√3
am!
--2 のとき,
3
3
3
以下の
9
f(a) = f(a+2)+
るときのαの値が場
m
合分けの境界
( i )は区間の右端
x=a+2 が
x=-
2/3
a
よう
グラフは右の図のようになる.
場合
x =α+2 のとき,
最大値 f(a+2)=a+a+8a(笑)
a a+2
↓最大
2√3
2/3
(ii) a≤3
<a+2 つまり(2
37
x
23-2<am-230
2√3
3
3
3
のとき,
Sa a+2
グラフは右の図のようになる.
大量
2/3
x=-
のとき,
3
2√3
最大値(-2/3)=
163
最
05(2) 3
'
(i)はx=
大値をとるx)が区
ある場合
a=-2 はこの場合
に含まれ、最大値の
場合分けには関係し
ない.
まとめて
a=0 のとき,
2√3
3
9
0
x
f(a)=f(a+2) とな
(iii)
2/3
<a≧0 のとき,
2√3
J3
3
グラフは右の図のようになる。 aa+2
x=a のとき,
最大値f(a)=a-4a
$301>>0
(iv) a>0 のとき,
2√3
●最大
グラフは右の図のようになる.
3、
り区間の両端で最
大値をとる. これを
境にして最大値をと
るxの値がx=a
から x=a+2に変わ
る.
F
x=a+2 のとき,
20
最大値 f(a +2)=a+ba²+8a
1510
x
(iv)は区間の左端 x=a
2v3
3
aa+2
がx=0より大きい
場合 まとめた
a≦x≦q+3 において,関数 f(x)=x3xの最大値および最小値を求めよ.
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