1匹万円
速効を使って問題を解く
アプローチ
n=1
ある日,太郎さんと花子さんのクラスでは,数学の授業で次の命題を証明した。
A3m
命題「nを正の整数とする。が有理数ならば、nは正の整数である。」
ただし,有理数とは、整数んと0でない整数を用いて分数
1
この命題を用いて、次の命題を証明する宿題が出された。 ⑤ 5678
宿題 命題を2以上の整数とする。 実数の集合A={√n,√n+1,√n+2,√n+3}について,
Aは少なくとも3個の無理数を要素にもつ。」を証明しなさい。
の形に表される数である。
PUZZ
太郎さんと花子さんは宿題について,次のような会話をした。 二人の会話を読んで、次の問いに答
えよ｡
3つ
4A51617
花子: 先生は背理法を用いて証明するように言っていたね。
太郎 : 命題が成り立たないと仮定して矛盾を導くんだったね。 でも、わかりにくいな。
花子:まず、この命題が何を表しているのか具体的に見てみようよ。 n=2のとき集合Aは,
A={√2,3,2√5}だね。 n=3のとき集合Aは,A1√3,2,√5,√6}だね。
太郎: どちらも、集合Aの要素の個数は4個で,確かに無理数が3個あるね。 他のnはどうかな。
√2&2 <15
(太郎さんと花子さんはn=10まで書き出してみた。)
(i)
124
太郎 : 集合 A は有理数を要素にもたないこともあるんだね。 集合を図で表現して整理してみよう。
実数全体の集合を全体集合 U, 有理数全体の集合を Vとすると、集合Vと集合Aの包含
関係はどうなるかな。
と
子: 次のように図をかいてみたよ。 (i) から (i)までの
部分の要素の個数に注目する
と、包含関係と要素の個数の組み合わせは5つの場合が考えられるね。
(iii)
U
