16
(1)x>0のとき, x+
x+2
の最小値を求めよ。
重要 例題 33(相加平均)≧ (相乗平均) と最大・最小
00000
〔類 九州産大]
61
(2)x0,y0 とする。(3x+2y) (2+2)の最小値を求めよ。
基本 32
1
指針
最小値であるから, (1) であれば,x+ 16
章
≧□･･･ ①となる□を求めることになる。
x+2
6
よって、例題 32と同様に (相加平均) ≧ (相乗平均)を利用して, 不等式① を証明
するつもりで考える。
(1)では, 2つの項の積が定数となるように, 「x+2」 の項を作り出す。
(2)では, 式を展開すると, 積が定数となる2つの項が現れる。
16
16
(1) x+ -=x+2+
-2
x+2
解答
x+2
x>0よりx+20であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均)
16
x+2を作り出す。
等
不等式の日
により x+2+
16
x+2=2√(x+2).
=2.4=8
x+2
ゆえに
x+
16
x+2
≧6
16
等号が成り立つのは, x+2=
のときである。
x+2
このとき (x+2)=16
x+2>0であるから x=2
16
x+2=
かつ
x+2
したがって x=2のとき最小値 6
16
x+2+
==8
