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演習 例題 72 関数方程式の条件から導関数を求める
関数f(x) は微分可能で, f'(0) = a とする。
00000
(1) 任意の実数x, y に対して,等式f(x+y=f(x)+f(y) が成り立つとき,
f(0), f'(x) を求めよ。
(2)任意の実数x,y に対して, 等式f(x+y=f(x)f(y), f(x)>0が成り立つ
f(0) を求めよ。 また, f'(x) を α, f(x) で表せ。
演習 70
このようなタイプの問題では,等式に適当な数値や文字式を代入することがカギ
となる。 f (0) を求めるには, x=0 や y = 0 の代入を考えてみる。
また,f'(x) は 定義 f'(x)=limf(x+h)-f(x)
h→0
h
に従って求める。 等式に y=h
を代入して得られる式を利用して,f(x+h)-f(x)の部分を変形していく。
きを (5)
(1) f(x+y=f(x)+f(y)
.....
① とする。
解答
① に x=0 を代入すると f(y)=f(0)+f(y)
f(0)=0
x=y=0を代入してもよい。
【アの両辺からf (y) を引く。
また, ① に y=h を代入するとf(x+h)=f(x)+f(h) f(x+h)=f(x)+f(h) から
12
ma
ゆえに
ゆえに f'(x)=lim
f(x+h)−f(x) f(h)
f(x+h)-f(x)=f(h)
=
=lim
[大工製受]
h→0
h
h→0
h
f(+h)-f()
=lim
f(x)+ho
(2) f(x+y=f(x)f(y)
f(0+h)-f(0)
②にx=y=0 を代入すると
② とする。
(*)
lim
-=f'(■)
=f'(0)=a
h→0
h
h
(*) f(0)=0
......
f(0)=f(0)f(0)
f(0) 2次方程式とみる。
よって f(0){f(0)-1}=0
(2
(0)
f(0) > 0 であるから
f(0)=1
また, ② に y=h を代入するとf(x+h)=f(x)f(h)
条件f(x)>0に注意。
大
(S)
ゆえに
BC
[大
f'(x)=lim
f(x+h)-f(x)
h
f(x){f(h)-1}
=lim
lim
f(x)f(h)-f(x)
h→0
h→0
h (E)
h→0
(2) AB
Ta
f(0+h)-f(0)
=f(x)・lim
h
h→0
dx
f(0) = 1, f'(0)=α
= f(x)• f'(0) =af (x) = < 8
