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重要 例題
(1) すべての自然数nに対して、
(2) 無限級数1+1/2/2
1
3
k=1 k
1
n
45 無限級数1/n が発散することの証明
2
n
1/12 172 +1が成り立つことを証明せよ。
77
000
+ +......+ -+...... は発散することを証明せよ。
基本 34. 重要 44
はさみう
分の公比)
(1)数学的帰納法によって証明する。
(2) 数列
列{1} は0に収束するから、p.63 基本例題 34のように、p.61 基本事項2②
を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。
2 とすると
=
ここで,m→∞のときn→∞となる。
2章
無限級数
[1] n=1のとき
① とする。
21
k=1k
数学II)
=0
Crab
とする。
k=1
(1)=
+1
......
解答
的帰納法を利
も考えられる
カード の計算
=
1+1/28-1/3+1
よって、 ① は成り立つ。
[2]n=m(m は自然数) のとき,①が成り立つと仮定すると1/21
このとき
2m+1
2m+1
1
+
k=1 k
k=1 k
k=2+1k
-xn
-x
≥
-nx"
(+1)+2+1+2+2
1
++
2m+1
x)S
1
m +1+
1
+
x" (1-x)
2
2m+1 2+2
+::::+
2m+2m
-x
m
1
m+1
<2m+1=2".2=2+2"
1
・+1+
•2m
+1
2
2m+1
2
2m+k 2m+2m
2m+1
n+1)
2
="+nx+1
(2)=21/2とおく。2" とすると, (1) から
k
→∞のときn→∞で
ここで,m→
m
2
よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。
(k=1, 2,..., 2"-1)
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
2m 1 m
・+1
k=1 k
2
→∞
lim +1=8
limSn=∞
118
里
き、
したがっては発散する。
an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②)
→∞
8122
n=1n
なら
amil
無限級数1/n”の収束・発散について
数列{a} が 0 に収束しなければ,無限級数 2α7 は発散するが (p.61 基本事項2②), こ
検討
80
n=1
の逆は成立しない。 上の (2) においてlim=0であることから,このことが確認できる。
U 00+u
n
なお,2は>1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 (S)
n=1 n'
二大]
練習
80
④ 45
上の例題の結果を用いて,無限級数
は発散することを示せ。
p.81 EX 32
n=1
31\
